Страница 184 номер 407, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Про величину \(X\) известно: \(\mathrm{E}X = 8\), \(\mathrm{D}X = 2{,}56\). Число \(s\) стоит в знаменателе, поэтому \(s \neq 0\); числа \(m\) и \(s\) постоянные, и \[Y = \frac{X - m}{s} = \frac{1}{s} \cdot X - \frac{m}{s}.\]
\(\mathrm{E}Y = \dfrac{1}{s} \cdot \mathrm{E}X - \dfrac{m}{s} = \dfrac{8 - m}{s}\) — множитель выносится за знак ожидания, постоянное слагаемое прибавляется к нему.
Условие \(\mathrm{E}Y = 0\) даёт \(8 - m = 0\), то есть \(m = 8\): дробь равна нулю только тогда, когда равен нулю её числитель.
\(\mathrm{D}Y = \left(\dfrac{1}{s}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \dfrac{2{,}56}{s^2}\) — множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, постоянное слагаемое дисперсию не меняет.
Условие \(\mathrm{D}Y = 1\) даёт \(s^2 = 2{,}56\), откуда \(s = 1{,}6\) или \(s = -1{,}6\).
Подходят оба числа: при \(m = 8\) и \(s = -1{,}6\) тоже \(\mathrm{E}Y = \dfrac{8 - 8}{-1{,}6} = 0\) и \(\mathrm{D}Y = \dfrac{2{,}56}{(-1{,}6)^2} = 1\).
Ответ: \(m = 8\), \(s = 1{,}6\) (подходит и \(s = -1{,}6\)).
Про случайную величину \(X\) известно: \(\mathrm{E}X = 8\), \(\mathrm{D}X = 2{,}56\). Нужно найти такие числа \(m\) и \(s\), чтобы величина \(Y = \dfrac{X - m}{s}\) имела математическое ожидание 0 и дисперсию 1.
Число \(s\) стоит в знаменателе, поэтому \(s \neq 0\). Числа \(m\) и \(s\) постоянные, и величина \(Y\) линейно выражается через \(X\): \[Y = \frac{X - m}{s} = \frac{1}{s} \cdot X - \frac{m}{s}.\]
Здесь множитель при \(X\) равен \(\dfrac{1}{s}\), а постоянное слагаемое равно \(-\dfrac{m}{s}\). Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, а постоянное слагаемое прибавляется к нему: \[\mathrm{E}Y = \frac{1}{s} \cdot \mathrm{E}X - \frac{m}{s} = \frac{8 - m}{s}.\]
Дробь равна нулю только тогда, когда равен нулю её числитель, поэтому условие \(\mathrm{E}Y = 0\) даёт \(8 - m = 0\), то есть \(m = 8\).
За знак дисперсии постоянный множитель выносится в квадрате, а постоянное слагаемое дисперсию не меняет: \[\mathrm{D}Y = \left(\frac{1}{s}\right)^2 \cdot \mathrm{D}X = \frac{2{,}56}{s^2}.\]
Условие \(\mathrm{D}Y = 1\) даёт \(s^2 = 2{,}56\), откуда \(s = 1{,}6\) или \(s = -1{,}6\). Подходят оба числа: при \(m = 8\) и \(s = -1{,}6\) тоже \(\mathrm{E}Y = \dfrac{8 - 8}{-1{,}6} = 0\) и \(\mathrm{D}Y = \dfrac{2{,}56}{(-1{,}6)^2} = 1\).
Положительное значение \(s = 1{,}6 = \sqrt{2{,}56}\) — это стандартное отклонение величины \(X\), а \(m = 8\) — её математическое ожидание: чтобы получить величину с ожиданием 0 и дисперсией 1, из \(X\) вычитают её ожидание и делят разность на стандартное отклонение.
Ответ: \(m = 8\), \(s = 1{,}6\) (подходит и \(s = -1{,}6\)).
