Страница 187 номер 408, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Найдите дисперсию случайной величины \(X\), которая имеет биномиальное распределение с параметрами:
а) \(n = 36\), \(p = \dfrac{1}{3}\);
б) \(n = 100\), \(p = 0{,}2\);
в) \(n = 90\), \(p = 0{,}3\).
Для \(X \sim Bi(n,\ p)\) дисперсия \(\mathrm{D}X = npq\), где \(q = 1 - p\).
а) \(X \sim Bi\left(36,\ \dfrac{1}{3}\right)\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{36 \cdot 2}{9} = 8.\]
б) \(X \sim Bi(100;\ 0{,}2)\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 16.\]
в) \(X \sim Bi(90;\ 0{,}3)\), \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 90 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 27 \cdot 0{,}7 = 18{,}9.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) 8; б) 16; в) \(18{,}9\).
Найдите дисперсию случайной величины \(X\), которая имеет биномиальное распределение с параметрами:
а) \(n = 36\), \(p = \dfrac{1}{3}\);
б) \(n = 100\), \(p = 0{,}2\);
в) \(n = 90\), \(p = 0{,}3\).
Дисперсия биномиального распределения с параметрами \(n\) и \(p\) равна произведению числа испытаний, вероятности успеха и вероятности неудачи: \(\mathrm{D}X = npq\), где \(q = 1 - p\).
а) \(X \sim Bi\left(36,\ \dfrac{1}{3}\right)\): \(n = 36\), \(p = \dfrac{1}{3}\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{36 \cdot 2}{9} = 8.\]
б) \(X \sim Bi(100;\ 0{,}2)\): \(n = 100\), \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 16.\]
в) \(X \sim Bi(90;\ 0{,}3)\): \(n = 90\), \(p = 0{,}3\), \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), поэтому \[\mathrm{D}X = npq = 90 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 27 \cdot 0{,}7 = 18{,}9.\]
Ответ: дисперсия величины \(X\) равна: а) 8; б) 16; в) \(18{,}9\).
