Страница 194 номер 428, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
масса семян редиса в пакете \(2\) кг \(= 2000\) г
\(X\) — масса случайно взятого семени, г
\(\mathrm{P}(X < 0{,}01) = 0{,}6\)
\(n\) — число семян в пакете
Найти: оценку сверху для \(n\).
Решение:

Масса одного семени дана в граммах, поэтому и массу пакета возьмём в граммах: \(2\) кг \(= 2000\) г. В пакете \(n\) семян, и вместе они весят 2000 г. Семя берут наудачу, каждое из \(n\) семян может оказаться взятым с одной и той же вероятностью \(\frac{1}{n}\), поэтому среднее значение массы взятого семени — это масса всего пакета, делённая на число семян: \(\mathrm{E}X = \frac{2000}{n}\) г.

Масса неотрицательна, математическое ожидание у величины \(X\) есть, значит, к ней применимо неравенство Маркова.

Масса семени меньше \(0{,}01\) г с вероятностью \(0{,}6\). События \(X < 0{,}01\) и \(X \geqslant 0{,}01\) противоположны, поэтому \(\mathrm{P}(X \geqslant 0{,}01) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).

Неравенство Маркова при \(a = 0{,}01\) даёт \[0{,}4 = \mathrm{P}(X \geqslant 0{,}01) \leqslant \frac{\mathrm{E}X}{0{,}01} = \frac{2000}{0{,}01 \cdot n} = \frac{200\,000}{n}.\]

Слева стоит точно известная вероятность, справа — оценка сверху, поэтому \(0{,}4 \leqslant \frac{200\,000}{n}\). Число семян положительно, поэтому обе части можно умножить на \(n\): \(0{,}4n \leqslant 200\,000\). Разделив обе части на \(0{,}4\), получаем \(n \leqslant \frac{200\,000}{0{,}4} = 500\,000\) — неравенство даёт для числа семян верхнюю границу.

Проверка: при \(n = 500\,000\) средняя масса семени равна \(\mathrm{E}X = \frac{2000}{500\,000} = 0{,}004\) г, и неравенство Маркова даёт \(\mathrm{P}(X \geqslant 0{,}01) \leqslant \frac{0{,}004}{0{,}01} = 0{,}4\) — ровно ту вероятность, которая известна по условию: граница достигается.

Ответ: в пакете не более \(500\,000\) семян.