Страница 173 номер 378, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(0{,}7\) — вероятность попадания при одном выстреле
мишень нужно поразить 5 раз
\(X\) — число сделанных выстрелов
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:

Стрелок останавливается после пятого попадания, поэтому число выстрелов не имеет геометрического распределения: оно считает выстрелы не до первого попадания, а до пятого. Разобьём серию выстрелов на пять частей и введём пять величин:
\(X_1\) — число выстрелов по первое попадание включительно;
\(X_2\) — число выстрелов после первого попадания и по второе включительно;
и так далее до \(X_5\) — числа выстрелов после четвёртого попадания и по пятое включительно.

Вместе эти части дают все выстрелы, поэтому \(X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5\).

Вероятность попадания не меняется от выстрела к выстрелу и равна \(p = 0{,}7\), а результат выстрела не зависит от прежних: выстрелы — одинаковые независимые испытания. Каждая из величин \(X_1,\ \ldots,\ X_5\) считает выстрелы до ближайшего попадания включительно, то есть до первого успеха в своей части серии, поэтому каждая имеет геометрическое распределение \(G(0{,}7)\), а ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X_1 = \ldots = \mathrm{E}X_5 = \frac{1}{0{,}7} = \frac{10}{7}.\]

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а все пять слагаемых одинаковы: \[\mathrm{E}X = \mathrm{E}X_1 + \ldots + \mathrm{E}X_5 = 5 \cdot \frac{10}{7} = \frac{50}{7} = 7\frac{1}{7}.\]

Округляя до тысячных, получаем \(\mathrm{E}X \approx 7{,}143\).

Ответ: математическое ожидание числа выстрелов равно \(\dfrac{50}{7} \approx 7{,}143\).