Страница 173 номер 377, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Симметричную монету бросают до тех пор, пока орёл не выпадет 3 раза (не обязательно подряд). Сколько бросков будет сделано? Найдите математическое ожидание этой величины.
Дано:
монета симметричная
орёл должен выпасть 3 раза
\(X\) — число сделанных бросков
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:
Число бросков заранее неизвестно: оно может оказаться \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\) — это случайная величина, и найти можно её среднее значение.
Геометрического распределения у \(X\) нет: оно считает испытания до первого успеха, а орла ждут трижды. Разобьём серию бросков на три части:
\(X_1\) — число бросков по первый орёл включительно;
\(X_2\) — число бросков после первого орла и по второй орёл включительно;
\(X_3\) — число бросков после второго орла и по третий орёл включительно.
Вместе они дают все броски, поэтому \(X = X_1 + X_2 + X_3\).
Монета симметричная, броски одинаковы и независимы, \(p = 0{,}5\), и каждая из величин \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) считает броски до первого орла в своей части серии, то есть имеет распределение \(G(0{,}5)\). \[\mathrm{E}X_1 = \mathrm{E}X_2 = \mathrm{E}X_3 = \frac{1}{0{,}5} = 2.\] \[\mathrm{E}X = \mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \mathrm{E}X_3 = 2 + 2 + 2 = 6.\]
Ответ: число сделанных бросков — случайная величина со значениями \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\); её математическое ожидание равно 6.
Симметричную монету бросают до тех пор, пока орёл не выпадет 3 раза (не обязательно подряд). Сколько бросков будет сделано? Найдите математическое ожидание этой величины.
Дано:
монета симметричная
орёл должен выпасть 3 раза
\(X\) — число сделанных бросков
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:
Сколько бросков будет сделано, заранее сказать нельзя: их может оказаться \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\) — число бросков само является случайной величиной. Найти можно её среднее значение.
Величина \(X\) геометрического распределения не имеет: геометрическое распределение считает испытания до первого успеха, а здесь орла ждут трижды. Зато всю серию бросков можно разбить на три части и ввести три величины:
\(X_1\) — число бросков по первый орёл включительно;
\(X_2\) — число бросков после первого орла и по второй орёл включительно;
\(X_3\) — число бросков после второго орла и по третий орёл включительно.
Вместе эти части дают все броски, поэтому \(X = X_1 + X_2 + X_3\).
Монета симметричная, поэтому в каждом броске вероятность выпадения орла одна и та же: \(p = 0{,}5\); броски одинаковы и независимы. Каждая из величин \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) считает броски до ближайшего орла включительно, то есть до первого успеха в своей части серии. Значит, каждая имеет геометрическое распределение \(G(0{,}5)\), а ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X_1 = \mathrm{E}X_2 = \mathrm{E}X_3 = \frac{1}{0{,}5} = 2.\]
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, поэтому \[\mathrm{E}X = \mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \mathrm{E}X_3 = 2 + 2 + 2 = 6.\]
Ответ: число сделанных бросков — случайная величина со значениями \(3;\ 4;\ 5;\ \ldots\); её математическое ожидание равно 6.
