Страница 173 номер 376, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(0{,}9\) — вероятность попадания в мишень при одном выстреле
стрельба идёт до первого промаха
\(N\) — число сделанных выстрелов
\(X\) — число поражённых мишеней
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:

Стрельба прекращается на первом промахе, поэтому успехом в этой серии испытаний надо считать именно промах, а не попадание: число выстрелов — это число испытаний до первого промаха включительно. Вероятность промаха при одном выстреле равна \(p = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\), и подставлять в формулу ожидания вероятность попадания \(0{,}9\) нельзя.

Выстрелы одинаковы и независимы: вероятность попадания не меняется от выстрела к выстрелу и не зависит от прежних результатов. Значит, величина \(N\) «число сделанных выстрелов» имеет геометрическое распределение \(G(0{,}1)\), а математическое ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}N = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}1} = 10.\]

Все выстрелы, кроме последнего, дали попадание, а последний — промах. Значит, поражённых мишеней ровно на одну меньше, чем выстрелов: \(X = N - 1\). Если из случайной величины вычесть постоянное число, то и математическое ожидание уменьшится на это же число, поэтому \[\mathrm{E}X = \mathrm{E}N - 1 = 10 - 1 = 9.\]

Ответ: математическое ожидание числа поражённых мишеней равно 9.