Страница 174 номер 382, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
игральный кубик бросают один раз
монету бросают столько раз, сколько очков выпало на кубике
\(X\) — число выпавших решек
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:

Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, поэтому каждое число очков от 1 до 6 выпадает с вероятностью \(\dfrac{1}{6}\). Монету считаем симметричной: в каждом броске решка выпадает с вероятностью \(0{,}5\), броски монеты не влияют друг на друга и не зависят от броска кубика.

Число бросков монеты само случайно, поэтому разложим \(X\) на простые слагаемые. Условимся, что монету в любом случае подбрасывают шесть раз, но в счёт идут только первые из них — столько, сколько очков выпало на кубике; лишние броски на результат не влияют. Для каждого номера \(k\) (\(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\)) введём два индикатора:
\(I_k = 1\), если \(k\)-й бросок монеты идёт в счёт, то есть на кубике выпало не меньше \(k\) очков, и \(I_k = 0\) в противном случае;
\(J_k = 1\), если в \(k\)-м броске монеты выпала решка, и \(J_k = 0\) в противном случае.

Произведение \(I_kJ_k\) равно 1 ровно тогда, когда \(k\)-й бросок идёт в счёт и дал решку, поэтому \[X = I_1J_1 + I_2J_2 + I_3J_3 + I_4J_4 + I_5J_5 + I_6J_6.\]

Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события. На кубике выпадает не меньше \(k\) очков в \(7 - k\) случаях из шести равновозможных (это выпадения \(k;\ k + 1;\ \ldots;\ 6\) очков), поэтому \(\mathrm{E}I_k = \dfrac{7 - k}{6}\); решка в отдельном броске монеты выпадает с вероятностью \(0{,}5\), поэтому \(\mathrm{E}J_k = 0{,}5\).

Величина \(I_k\) зависит только от кубика, а \(J_k\) — только от \(k\)-го броска монеты, поэтому они независимы, а для независимых величин математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий: \[\mathrm{E}(I_kJ_k) = \mathrm{E}I_k \cdot \mathrm{E}J_k = \frac{7 - k}{6} \cdot 0{,}5.\]

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий (независимости слагаемых это не требует), поэтому \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = \left(\frac{6}{6} + \frac{5}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}\right) \cdot 0{,}5 = {} \\ &= \frac{21}{6} \cdot 0{,}5 = 3{,}5 \cdot 0{,}5 = 1{,}75. \end{aligned}\]

Число \(3{,}5\) здесь — среднее число бросков монеты, то есть среднее число очков на кубике, и половина этого числа приходится на решки.

Ответ: математическое ожидание числа выпавших решек равно 1,75.