Страница 173 номер 381, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Саженец яблони приживается с вероятностью 0,85. Сколько саженцев надо купить, чтобы математическое ожидание числа прижившихся саженцев было не менее 10?
Дано:
\(p = 0{,}85\) — вероятность того, что саженец приживётся
\(n\) — число купленных саженцев
\(X\) — число прижившихся саженцев
Найти: наименьшее \(n\), при котором \(\mathrm{E}X \geqslant 10\).
Решение:
Саженцы приживаются независимо друг от друга и с одной и той же вероятностью \(p = 0{,}85\), поэтому \(X\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли: \(X \sim Bi(n;\ 0{,}85)\) и \(\mathrm{E}X = np = 0{,}85n\).
\(0{,}85n \geqslant 10\), откуда \[n \geqslant \frac{10}{0{,}85} = \frac{1000}{85} = \frac{200}{17} = 11\frac{13}{17}.\]
Число саженцев целое, а наименьшее целое число, не меньшее \(11\dfrac{13}{17}\), — это 12.
Проверка: \(0{,}85 \cdot 11 = 9{,}35\) — меньше 10; \(0{,}85 \cdot 12 = 10{,}2\) — не меньше 10.
Ответ: надо купить 12 саженцев.
Саженец яблони приживается с вероятностью 0,85. Сколько саженцев надо купить, чтобы математическое ожидание числа прижившихся саженцев было не менее 10?
Дано:
\(p = 0{,}85\) — вероятность того, что саженец приживётся
\(n\) — число купленных саженцев
\(X\) — число прижившихся саженцев
Найти: наименьшее \(n\), при котором \(\mathrm{E}X \geqslant 10\).
Решение:
Саженцы приживаются независимо друг от друга, и вероятность прижиться у каждого одна и та же: \(p = 0{,}85\). Значит, посадка \(n\) саженцев — это серия из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, успех — «саженец прижился», а величина \(X\) считает число успехов, то есть \(X \sim Bi(n;\ 0{,}85)\).
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность успеха: \(\mathrm{E}X = np = 0{,}85n\). Требование «ожидание не менее 10» даёт неравенство \(0{,}85n \geqslant 10\), откуда \[n \geqslant \frac{10}{0{,}85} = \frac{1000}{85} = \frac{200}{17} = 11\frac{13}{17}.\]
Число саженцев целое, а наименьшее целое число, не меньшее \(11\dfrac{13}{17}\), — это 12. Проверка: при \(n = 11\) ожидание равно \(0{,}85 \cdot 11 = 9{,}35\) — меньше 10, а при \(n = 12\) оно равно \(0{,}85 \cdot 12 = 10{,}2\) — не меньше 10.
Ответ: надо купить 12 саженцев.
