Страница 173 номер 379, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Пару игральных кубиков бросают 180 раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, в которых:
а) сумма выпавших очков равна 12;
б) выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1.
Дано:
пара игральных кубиков
\(n = 180\) — число бросков пары
Найти: математическое ожидание числа бросков в каждом пункте.
Решение:
Кубики правильные, и результат одного не зависит от результата другого, поэтому у броска пары \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных исходов — упорядоченных пар выпавших чисел очков.
Броски пары одинаковы и независимы, поэтому в каждом пункте число бросков с нужным событием — это число успехов в серии из \(n = 180\) испытаний Бернулли, то есть величина с биномиальным распределением, а её математическое ожидание равно произведению числа испытаний \(n\) на вероятность успеха \(p\).
а) Сумма очков равна 12 только при шести очках на обоих кубиках — один исход из 36, поэтому вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{1}{36}\), а величина \(X\) «число бросков с суммой очков 12» имеет распределение \(Bi\left(180,\ \dfrac{1}{36}\right)\). \[\mathrm{E}X = np = 180 \cdot \frac{1}{36} = 5.\]
б) Числа очков отличаются не более чем на 1 — значит, они либо равны, либо отличаются ровно на 1.
Равных пар шесть: \((1;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((3;\ 3)\), \((4;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((6;\ 6)\).
Пар с разностью 1 десять: \((1;\ 2)\), \((2;\ 1)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ 3)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ 4)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ 5)\).
Всего благоприятствующих исходов \(6 + 10 = 16\) из 36, поэтому вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}\), а величина \(Y\) «число бросков, в которых числа очков отличаются не более чем на 1» имеет распределение \(Bi\left(180,\ \dfrac{4}{9}\right)\). \[\mathrm{E}Y = np = 180 \cdot \frac{4}{9} = 80.\]
Ответ: математическое ожидание числа бросков равно: а) 5; б) 80.
Пару игральных кубиков бросают 180 раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, в которых:
а) сумма выпавших очков равна 12;
б) выпавшие числа очков отличаются не более чем на 1.
Дано:
пара игральных кубиков
\(n = 180\) — число бросков пары
Найти: математическое ожидание числа бросков в каждом пункте.
Решение:
Кубики считаем правильными: все шесть граней каждого равновозможны, а результат одного кубика не зависит от результата другого. Тогда у одного броска пары есть \(6 \cdot 6 = 36\) равновозможных исходов — упорядоченных пар выпавших чисел очков.
Броски пары одинаковы и независимы: кубики не меняются, и результат каждого броска не зависит от предыдущих. Значит, в каждом пункте число бросков с нужным событием — это число успехов в серии из \(n = 180\) испытаний Бернулли, то есть величина с биномиальным распределением, а её математическое ожидание равно произведению числа испытаний на вероятность успеха.
а) Сумма очков равна 12 только тогда, когда на обоих кубиках выпало по шесть очков, — это один исход из 36. Значит, вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{1}{36}\), величина \(X\) «число бросков с суммой очков 12» имеет распределение \(Bi\left(180,\ \dfrac{1}{36}\right)\), и \[\mathrm{E}X = np = 180 \cdot \frac{1}{36} = 5.\]
б) Выпавшие числа отличаются не более чем на 1 — значит, они либо равны, либо отличаются ровно на 1.
Равных пар шесть: \((1;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((3;\ 3)\), \((4;\ 4)\), \((5;\ 5)\), \((6;\ 6)\).
Пар с разностью 1 десять: \((1;\ 2)\), \((2;\ 1)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 2)\), \((3;\ 4)\), \((4;\ 3)\), \((4;\ 5)\), \((5;\ 4)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ 5)\).
Всего благоприятствующих исходов \(6 + 10 = 16\) из 36, поэтому вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}\). Величина \(Y\) «число бросков, в которых числа очков отличаются не более чем на 1» имеет распределение \(Bi\left(180,\ \dfrac{4}{9}\right)\), и \[\mathrm{E}Y = np = 180 \cdot \frac{4}{9} = 80.\]
Ответ: математическое ожидание числа бросков равно: а) 5; б) 80.
