Страница 173 номер 374, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) имеет геометрическое распределение, причём \(\mathrm{P}(X \leqslant 2) = 0{,}75\). Вычислите \(\mathrm{E}X\).
\(X \sim G(p)\) — число испытаний до первого успеха включительно в серии одинаковых независимых испытаний, значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\), вероятность неудачи в одном испытании \(q = 1 - p\).
\(\mathrm{P}(X > 2) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\) — вероятность события, противоположного \(X \leqslant 2\).
Неравенство \(X > 2\) значит, что успеха не было ни в первом испытании, ни во втором, а испытания независимы, поэтому \(q^2 = 0{,}25\), откуда \(q = 0{,}5\) (корень \(-0{,}5\) не годится: вероятность неотрицательна) и \(p = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}5} = 2.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 2\).
Случайная величина \(X\) имеет геометрическое распределение, причём \(\mathrm{P}(X \leqslant 2) = 0{,}75\). Вычислите \(\mathrm{E}X\).
Геометрическое распределение \(G(p)\) — это распределение числа испытаний до первого успеха включительно в серии одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом. Поэтому величина \(X\) принимает значения \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots\), а вероятность неудачи в одном испытании равна \(q = 1 - p\).
События \(X \leqslant 2\) и \(X > 2\) противоположны, поэтому \(\mathrm{P}(X > 2) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\).
Неравенство \(X > 2\) значит, что успеха не было ни в первом испытании, ни во втором. Испытания независимы, вероятность неудачи в каждом равна \(q\), поэтому \(\mathrm{P}(X > 2) = q \cdot q = q^2\), то есть \(q^2 = 0{,}25\). Отсюда \(q = 0{,}5\); второй корень \(q = -0{,}5\) не годится, потому что вероятность неотрицательна. Значит, \(p = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\) и \(X \sim G(0{,}5)\).
Математическое ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}5} = 2.\]
Ответ: \(\mathrm{E}X = 2\).
