Страница 174 номер 384, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 10\) — число лекарств в заказе
\(0{,}9\) — вероятность успешного поиска лекарства в одной попытке
на каждое лекарство даётся не более двух попыток
\(X\) — число упаковок, которые соберёт робот
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:

Робот соберёт отдельную упаковку, если найдёт лекарство в первой попытке или, промахнувшись, найдёт его во второй. Попытки считаем независимыми, вероятность успешного поиска в каждой одна и та же — \(0{,}9\), а вероятность неудачи \(1 - 0{,}9 = 0{,}1\).

Упаковка не собрана только тогда, когда обе попытки неудачны, и вероятность этого равна \(0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). Значит, вероятность собрать отдельную упаковку равна \(p = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\). То же число даёт и прямой подсчёт: лекарство находится с первой попытки с вероятностью \(0{,}9\) либо со второй — с вероятностью \(0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09\), а всего \(0{,}9 + 0{,}09 = 0{,}99\).

Лекарства робот ищет независимо друг от друга, и вероятность собрать каждую упаковку одна и та же. Значит, сбор заказа — серия из \(n = 10\) одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p = 0{,}99\), а величина \(X\) «число упаковок, которые соберёт робот» считает число успехов: \(X \sim Bi(10;\ 0{,}99)\). Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X = np = 10 \cdot 0{,}99 = 9{,}9.\]

Ответ: математическое ожидание числа собранных упаковок равно 9,9.