Страница 173 номер 380, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
кость в форме тетраэдра, у её вершин записаны числа 1, 2, 3, 4
вероятность выпадения вершины пропорциональна числу у этой вершины
кость бросают, пока не выпадет вершина 2 или вершина 3
\(X\) — число сделанных бросков
Найти: \(\mathrm{E}X\).
Решение:

У кости четыре вершины, и при броске выпадает одна из них. Обозначим через \(c\) коэффициент пропорциональности: вероятность выпадения вершины с числом \(k\) равна \(ck\). Сумма вероятностей всех четырёх исходов одного броска равна 1, поэтому \(c(1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1\), откуда \(c = \dfrac{1}{10}\).

Значит, вершина с числом \(k\) выпадает с вероятностью \(\dfrac{k}{10}\): вершина 1 — с вероятностью \(0{,}1\), вершина 2 — \(0{,}2\), вершина 3 — \(0{,}3\), вершина 4 — \(0{,}4\).

Успех в одном броске — «выпала вершина 2 или вершина 3». Эти два исхода несовместны, поэтому вероятность успеха равна \[p = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5.\]

Кость от броска к броску не меняется, и результат каждого броска не зависит от предыдущих, поэтому броски — одинаковые независимые испытания, а величина \(X\) считает их до первого успеха включительно. Значит, \(X \sim G(0{,}5)\), а математическое ожидание геометрического распределения равно единице, делённой на вероятность успеха: \[\mathrm{E}X = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}5} = 2.\]

Ответ: математическое ожидание числа сделанных бросков равно 2.