ГДЗ 10 класс Алгебра Высоцкий – вероятность и статистика

10класс

Вопросы после параграфа §34 на странице 169, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VII. Математическое ожидание. §34. Свойства математического ожидания. Страница 169, вопросы после параграфа §34

1. Известно, что математическое ожидание случайной величины \(X\) существует. Следует ли отсюда, что существует математическое ожидание случайной величины \(-X\)?

У величины \(-X\) вероятности те же, что у \(X\), а значения отличаются только знаком: если \(X = x_k\), то \(-X = -x_k\). \[X \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_k & \ldots \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_k & \ldots \end{pmatrix}, \qquad -X \sim \begin{pmatrix} -x_1 & -x_2 & \ldots & -x_k & \ldots \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_k & \ldots \end{pmatrix}.\]

Каждое слагаемое суммы, задающей математическое ожидание, меняет знак: \((-x_k)p_k = -x_kp_k\), поэтому вся сумма меняет знак и существует вместе с \(\mathrm{E}X\).

Тот же вывод даёт линейная зависимость \(-X = (-1) \cdot X + 0\): \(\mathrm{E}(-X) = (-1) \cdot \mathrm{E}X + 0 = -\mathrm{E}X\).

Ответ: да, следует: математическое ожидание величины \(-X\) существует и равно \(-\mathrm{E}X\).

2. Чему равно математическое ожидание постоянной величины \(a\)?

Постоянная величина при любом исходе принимает одно и то же значение. Запишем её как \(0 \cdot X + a\), где \(X\) — любая величина с существующим ожиданием: \(\mathrm{E}a = 0 \cdot \mathrm{E}X + a = a\).

То же по определению: у постоянной величины значение единственное, его вероятность равна 1, и сумма произведений состоит из одного слагаемого \(a \cdot 1 = a\).

Ответ: \(\mathrm{E}a = a\) — математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.

3. Сформулируйте три свойства математического ожидания.

Первое свойство (линейная зависимость). Если \(Y = aX + b\) с постоянными \(a\) и \(b\) и ожидание \(\mathrm{E}X\) существует, то \(\mathrm{E}Y = a\mathrm{E}X + b\). Например, при \(\mathrm{E}X = 4\) ожидание величины \(3X - 1\) равно \(3 \cdot 4 - 1 = 11\). Отсюда же \(\mathrm{E}b = b\).

Второе свойство (ожидание суммы). Если у величин \(X\) и \(Y\) ожидания существуют, то существует и ожидание суммы, причём \(\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y\); равенство верно всегда, даже если слагаемые не являются независимыми, и переносится на любое число слагаемых.

Третье свойство (ожидание произведения). Если величины \(X\) и \(Y\) независимы и их ожидания существуют, то \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\).

Ответ: \(\mathrm{E}(aX + b) = a\mathrm{E}X + b\) для постоянных \(a\) и \(b\) (отсюда \(\mathrm{E}b = b\)); \(\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y\) для любых величин, имеющих ожидания; \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\) для независимых величин.

4. В каком случае математическое ожидание суммы можно находить по слагаемым?

Всегда, когда у каждого слагаемого математическое ожидание существует; тогда существует и ожидание суммы, причём \[\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y.\]

Условий на связь между величинами не нужно: равенство верно и для зависимых слагаемых. Скажем, величины \(X\) и \(-X\) связаны предельно жёстко, но \(\mathrm{E}(X + (-X)) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}X = 0\), и сумма \(X + (-X)\) действительно равна нулю при любом исходе.

Правило переносится на любое число слагаемых: \(\mathrm{E}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n\).

Ответ: всегда, если у каждого слагаемого есть математическое ожидание; независимость слагаемых не требуется.

5. В каком случае математическое ожидание произведения можно находить как произведение математических ожиданий случайных множителей?

Когда множители — независимые случайные величины и у каждой есть математическое ожидание; тогда \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y.\]

Например, кубик бросают дважды, \(X\) и \(Y\) — числа выпавших очков; кубик правильный, все шесть граней равновозможны, поэтому \(\mathrm{E}X = \mathrm{E}Y = \frac{1 + 2 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5\). Броски не влияют друг на друга, величины независимы, и \(\mathrm{E}(XY) = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\).

Без независимости равенство может нарушиться. Положим \(Y = X\) — результат того же броска: величины зависимы, произведение равно \(X^2\) и принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\), поэтому \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}.\]

Произведение же ожиданий равно \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\), то есть равенство не выполняется.

Ответ: равенство \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\) верно, когда случайные множители независимы и у каждого есть математическое ожидание.

6. Для двух случайных величин \(X\) и \(Y\) известно, что \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\). Следует ли отсюда, что случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы?

Не следует: есть зависимые величины, для которых равенство выполняется.

Из трёх карточек с числами \(-1\), 0 и 1 наудачу берут одну, \(X\) — «число на взятой карточке»; все три карточки равновозможны: \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

Вторую величину зададим равенством \(Y = X^2\). Она равна 0 при карточке 0 и равна 1 при карточках \(-1\) и 1, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3}\) и \(\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\): \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.\]

\(\mathrm{E}X = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\).

\(\mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\), поэтому \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{2}{3} = 0\).

Произведение \(XY\) равно \(-1\), 0 и 1 при карточках \(-1\), 0 и 1 соответственно: \[XY \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

\(\mathrm{E}(XY) = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\), то есть равенство \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\) выполнено.

Но эти величины зависимы: событие «\(X = 0\)» означает, что взята карточка с нулём, и тогда обязательно \(Y = 0\), поэтому \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = \frac{1}{3}\), тогда как \(\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\) — равенство, обязательное для независимых величин, нарушилось.

Ответ: нет, не следует: у величины \(X\) со значениями \(-1\), 0, 1, каждое из которых имеет вероятность \(\frac{1}{3}\), и у величины \(Y = X^2\) выполнено \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\), но эти величины зависимы.

7. Выразите \(\mathrm{E}(X - Y)\) через \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}Y\).

Разность запишем как сумму \(X - Y = X + (-Y)\), а из линейной зависимости \(-Y = (-1) \cdot Y + 0\) следует \(\mathrm{E}(-Y) = -\mathrm{E}Y\). Ожидание суммы равно сумме ожиданий, значит, \[\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}(-Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y.\]

Ответ: \(\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y\).

8. Математическое ожидание суммы \(X + Y\) существует. Можно ли утверждать, что существуют числа \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}Y\)? Если нельзя, то приведите пример, когда это не так.

Утверждать нельзя: ожидание суммы может существовать и тогда, когда ожидания слагаемых не существуют. Возьмём величину \(X\) с распределением \[X \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 27 & \ldots & 3^k & \ldots \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{9} & \frac{2}{27} & \ldots & \frac{2}{3^k} & \ldots \end{pmatrix}.\]

Такое распределение существует: все вероятности положительны, а их сумма — сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(\frac{2}{3}\) и знаменателем \(\frac{1}{3}\) — равна \(\frac{2}{3} : \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1\).

Каждое слагаемое в математическом ожидании равно \(3^k \cdot \frac{2}{3^k} = 2\), поэтому сумма имеет вид \(2 + 2 + 2 + \ldots\) — она неограниченно растёт, и ожидания у величины \(X\) нет.

У величины \(Y = -X\) значения \(-3^k\) с теми же вероятностями, каждое слагаемое её ожидания равно \(-2\), и ожидания у неё тоже нет.

Но \(X + Y = X + (-X) = 0\) при любом исходе: сумма — постоянная величина, а ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной, поэтому \(\mathrm{E}(X + Y) = 0\).

Ответ: нельзя: у величины \(X\) со значениями \(3^k\) и вероятностями \(\frac{2}{3^k}\) и у величины \(Y = -X\) математических ожиданий нет, а \(X + Y = 0\) и \(\mathrm{E}(X + Y) = 0\).

Пусть величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_k & \ldots \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_k & \ldots \end{pmatrix}.\]

Если \(X = x_k\), то \(-X = -x_k\). Значит, у величины \(-X\) вероятности те же самые, а значения отличаются только знаком: \[-X \sim \begin{pmatrix} -x_1 & -x_2 & \ldots & -x_k & \ldots \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_k & \ldots \end{pmatrix}.\]

Каждое слагаемое суммы, задающей математическое ожидание, при этом меняет знак: \((-x_k)p_k = -x_kp_k\). Поэтому вся сумма меняет знак и существует вместе с \(\mathrm{E}X\).

Тот же вывод даёт правило для линейной зависимости: величины связаны равенством \(-X = (-1) \cdot X + 0\), поэтому \(\mathrm{E}(-X) = (-1) \cdot \mathrm{E}X + 0 = -\mathrm{E}X\).

Ответ: да, следует: математическое ожидание величины \(-X\) существует и равно \(-\mathrm{E}X\).

2. Чему равно математическое ожидание постоянной величины \(a\)?

Постоянная величина при любом исходе опыта принимает одно и то же значение. Запишем её как линейную функцию случайной величины \(X\) с нулевым множителем: \(0 \cdot X + a\), где \(X\) — любая величина, у которой математическое ожидание существует. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, а постоянное слагаемое к нему прибавляется, поэтому \(\mathrm{E}a = 0 \cdot \mathrm{E}X + a = a\).

То же видно и по определению: у постоянной величины единственное значение, его вероятность равна 1, и сумма произведений состоит из одного слагаемого \(a \cdot 1 = a\).

Ответ: \(\mathrm{E}a = a\) — математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.

3. Сформулируйте три свойства математического ожидания.

Первое свойство (линейная зависимость). Если случайные величины связаны равенством \(Y = aX + b\), где \(a\) и \(b\) — постоянные, и математическое ожидание \(\mathrm{E}X\) существует, то \(\mathrm{E}Y = a\mathrm{E}X + b\): постоянный множитель выносится за знак ожидания, а постоянное слагаемое прибавляется к нему. Например, при \(\mathrm{E}X = 4\) ожидание величины \(3X - 1\) равно \(3 \cdot 4 - 1 = 11\). Отсюда же следует, что математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной: \(\mathrm{E}b = b\).

Второе свойство (ожидание суммы). Если у величин \(X\) и \(Y\) математические ожидания существуют, то существует и ожидание суммы, причём \(\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y\). Это равенство верно всегда, даже если слагаемые не являются независимыми, и переносится на любое число слагаемых. Например, ожидание суммы очков при двух бросках правильного кубика равно \(3{,}5 + 3{,}5 = 7\).

Третье свойство (ожидание произведения). Если величины \(X\) и \(Y\) независимы и их математические ожидания существуют, то \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\). Например, при двух независимых бросках правильного кубика ожидание произведения выпавших чисел равно \(3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\).

4. В каком случае математическое ожидание суммы можно находить по слагаемым?

Всегда, когда у каждого слагаемого математическое ожидание существует. Тогда существует и ожидание суммы, причём \[\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y.\]

Никаких условий на связь между величинами при этом не нужно: равенство верно и для зависимых слагаемых. Скажем, величины \(X\) и \(-X\) связаны предельно жёстко, но правило работает и для них: \(\mathrm{E}(X + (-X)) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}X = 0\), и сумма \(X + (-X)\) действительно равна нулю при любом исходе.

Правило переносится на любое число слагаемых: \(\mathrm{E}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = \mathrm{E}X_1 + \mathrm{E}X_2 + \ldots + \mathrm{E}X_n\). На нём держится приём «представить величину суммой простых слагаемых»: распределение суммы бывает сложным, а ожидание каждого слагаемого находится легко.

Когда множители — независимые случайные величины и у каждой есть математическое ожидание. Тогда \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y.\]

Например, кубик бросают дважды, \(X\) и \(Y\) — числа выпавших очков. Кубик считаем правильным, все шесть граней равновозможны, поэтому \(\mathrm{E}X = \mathrm{E}Y = \frac{1 + 2 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5\). Броски не влияют друг на друга, величины независимы, и ожидание произведения равно \(3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\).

Без независимости равенство может нарушиться. Возьмём тот же бросок и положим \(Y = X\) — результат того же самого броска. Величины зависимы: значение \(X\) полностью определяет значение \(Y\). Произведение равно \(X^2\) и принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\). Значит, \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}.\]

Произведение же ожиданий равно \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25\), то есть равенство не выполняется.

Не следует: есть зависимые величины, для которых это равенство выполняется.

Из трёх карточек с числами \(-1\), 0 и 1 наудачу берут одну. Случайная величина \(X\) — «число на взятой карточке». Карточку берут наудачу, все три карточки равновозможны, поэтому \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

Вторую величину зададим равенством \(Y = X^2\). Она равна 0, если на карточке нуль, и равна 1, если на карточке \(-1\) или 1, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3}\) и \(\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\): \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.\]

Считаем ожидания: \(\mathrm{E}X = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\) и \(\mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\), поэтому \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{2}{3} = 0\).

Произведение \(XY\) равно \(-1\) при карточке \(-1\), равно 0 при карточке 0 и равно 1 при карточке 1: \[XY \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]

Отсюда \(\mathrm{E}(XY) = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\), то есть равенство \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\) выполнено.

Но эти величины зависимы. У независимых величин вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей этих значений по отдельности, а здесь это не так. Возьмём пару значений 0 и 0: событие «\(X = 0\)» означает, что взята карточка с нулём, и тогда обязательно \(Y = 0\). Поэтому \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = \frac{1}{3}\), тогда как \(\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). Равенство нарушилось на этой паре значений, значит, величины не являются независимыми.

7. Выразите \(\mathrm{E}(X - Y)\) через \(\mathrm{E}X\) и \(\mathrm{E}Y\).

Разность запишем как сумму: \(X - Y = X + (-Y)\). Величина \(-Y\) связана с \(Y\) линейной зависимостью \(-Y = (-1) \cdot Y + 0\), поэтому \(\mathrm{E}(-Y) = -\mathrm{E}Y\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, значит, \[\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}(-Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y.\]

Ответ: \(\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y\).

Утверждать нельзя: ожидание суммы может существовать и тогда, когда ожидания слагаемых не существуют.

Возьмём величину \(X\) со значениями \(3,\ 9,\ 27,\ \ldots,\ 3^k,\ \ldots\) и вероятностями \(\frac{2}{3},\ \frac{2}{9},\ \frac{2}{27},\ \ldots,\ \frac{2}{3^k},\ \ldots\): \[X \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 27 & \ldots & 3^k & \ldots \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{9} & \frac{2}{27} & \ldots & \frac{2}{3^k} & \ldots \end{pmatrix}.\]

Каждое слагаемое в математическом ожидании равно \(3^k \cdot \frac{2}{3^k} = 2\), поэтому сумма имеет вид \(2 + 2 + 2 + \ldots\) — она неограниченно растёт, и математического ожидания у величины \(X\) нет.

Положим \(Y = -X\). У этой величины значения \(-3^k\) с теми же вероятностями, каждое слагаемое её ожидания равно \(-2\), и ожидания у неё тоже нет.