Вопросы после параграфа §35 на странице 173, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом равна \(p\), а \(X\) считает испытания до первого успеха включительно, поэтому \(X \sim G(p)\) и \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
Числитель постоянный, поэтому с ростом \(p\) дробь убывает: при \(p = 0{,}5\) ожидание равно \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) попытки, а при \(p = 0{,}1\) — \(\dfrac{1}{0{,}1} = 10\) попыток. Значит, чем больше \(p\), тем меньше ожидаемое число попыток, а не больше.
Ответ: нет, неверно: \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\), и с ростом \(p\) ожидание убывает (при \(p = 0{,}5\) оно равно 2, а при \(p = 0{,}1\) — 10).
\(X\) — число успехов в серии из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, то есть \(X \sim Bi(n,\ p)\) и \(\mathrm{E}X = np\).
Каждое испытание кончается успехом или неудачей, а всего их \(n\), поэтому число неудач \(Y = n - X\) и \(\mathrm{E}Y = n - \mathrm{E}X = n - np = n(1 - p)\).
Первое утверждение: \(n\) не меняется, а множитель \(1 - p\) с ростом \(p\) убывает, значит, убывает и \(n(1 - p)\); при \(n = 100\) и \(p = 0{,}9\) неудач ожидается \(100 \cdot 0{,}1 = 10\), а при \(p = 0{,}99\) — \(100 \cdot 0{,}01 = 1\). Верно.
Второе утверждение: \(p\) не меняется, множитель \(1 - p\) положителен, значит, \(n(1 - p)\) растёт вместе с \(n\); при \(p = 0{,}9\) и \(n = 100\) неудач ожидается 10, а при \(n = 300\) — \(300 \cdot 0{,}1 = 30\). Верно.
Ответ: оба утверждения верны: ожидаемое число неудач равно \(n(1 - p)\), оно убывает с ростом вероятности успеха и растёт с ростом числа испытаний.
Проводится серия одинаковых независимых испытаний, вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), а \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно; тогда \(X \sim G(p)\), то есть при \(q = 1 - p\) \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ p & qp & q^2p & \ldots & q^{k-1}p & \ldots \end{pmatrix}.\]
Теорема: \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
Например, симметричную монету бросают до первого орла: броски одинаковы и независимы, \(p = 0{,}5\), число сделанных бросков имеет распределение \(G(0{,}5)\), и в среднем бросков нужно \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\).
Ответ: если случайная величина \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно в серии одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, то есть \(X \sim G(p)\), то \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
Проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, а \(X\) — число успехов в этой серии; тогда \(X \sim Bi(n,\ p)\), то есть при \(q = 1 - p\) \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & k & \ldots & n \\ q^n & C_n^1pq^{n-1} & \ldots & C_n^kp^kq^{n-k} & \ldots & p^n \end{pmatrix}.\]
Теорема: \(\mathrm{E}X = np\).
Например, в серии из 20 испытаний с вероятностью успеха \(0{,}2\) в каждом ожидаемое число успехов равно \(20 \cdot 0{,}2 = 4\).
Ответ: если случайная величина \(X\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, то есть \(X \sim Bi(n,\ p)\), то \(\mathrm{E}X = np\).
Испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом равна \(p\), а величина \(X\) считает испытания до первого успеха включительно. Значит, \(X\) имеет геометрическое распределение \(G(p)\), и её математическое ожидание равно единице, делённой на вероятность успеха: \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
У дроби \(\dfrac{1}{p}\) числитель постоянный, поэтому с ростом знаменателя сама дробь убывает. Следовательно, чем больше \(p\), тем меньше ожидаемое число попыток, а не больше.
Это видно и на числах: при \(p = 0{,}5\) ожидание равно \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) попытки, а при \(p = 0{,}1\) — уже \(\dfrac{1}{0{,}1} = 10\) попыток. Чем вероятнее успех, тем меньше попыток нужно в среднем, чтобы его дождаться.
Ответ: нет, неверно: \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\), и с ростом \(p\) ожидание убывает (при \(p = 0{,}5\) оно равно 2, а при \(p = 0{,}1\) — 10).
Величина \(X\) — число успехов в серии из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, то есть \(X \sim Bi(n,\ p)\), и математическое ожидание биномиального распределения равно \(\mathrm{E}X = np\).
Каждое испытание кончается либо успехом, либо неудачей, а всего испытаний \(n\). Значит, число неудач \(Y\) выражается через число успехов: \(Y = n - X\). Это линейная зависимость, и ожидание меняется так же: \(\mathrm{E}Y = n - \mathrm{E}X = n - np = n(1 - p)\).
Первое утверждение. Число испытаний \(n\) не меняется, а множитель \(1 - p\) с ростом \(p\) убывает, поэтому убывает и произведение \(n(1 - p)\). Например, при \(n = 100\) и \(p = 0{,}9\) ожидаемое число неудач равно \(100 \cdot 0{,}1 = 10\), а при \(p = 0{,}99\) — уже \(100 \cdot 0{,}01 = 1\). Утверждение верно.
Второе утверждение. Вероятность успеха не меняется, множитель \(1 - p\) положителен (успех не достоверен), поэтому произведение \(n(1 - p)\) растёт вместе с числом испытаний \(n\). Например, при \(p = 0{,}9\) и \(n = 100\) ожидаемое число неудач равно 10, а при \(n = 300\) — уже \(300 \cdot 0{,}1 = 30\). Утверждение верно.
Ответ: оба утверждения верны: ожидаемое число неудач равно \(n(1 - p)\), оно убывает с ростом вероятности успеха и растёт с ростом числа испытаний.
Пусть проводится серия одинаковых независимых испытаний, вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), а случайная величина \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно. Тогда \(X\) имеет геометрическое распределение \(G(p)\), то есть при \(q = 1 - p\) \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ p & qp & q^2p & \ldots & q^{k-1}p & \ldots \end{pmatrix}.\]
Теорема утверждает: математическое ожидание такой величины равно \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
Например, симметричную монету бросают до первого выпадения орла. Вероятность успеха в каждом броске равна \(p = 0{,}5\), броски одинаковы и независимы, поэтому число сделанных бросков имеет распределение \(G(0{,}5)\), и в среднем бросков нужно \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\).
Ответ: если случайная величина \(X\) — число испытаний до первого успеха включительно в серии одинаковых независимых испытаний с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, то есть \(X \sim G(p)\), то \(\mathrm{E}X = \dfrac{1}{p}\).
Пусть проводится серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, а случайная величина \(X\) — число успехов в этой серии. Тогда \(X\) имеет биномиальное распределение \(Bi(n,\ p)\), то есть при \(q = 1 - p\) \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & k & \ldots & n \\ q^n & C_n^1pq^{n-1} & \ldots & C_n^kp^kq^{n-k} & \ldots & p^n \end{pmatrix}.\]
Теорема утверждает: математическое ожидание такой величины равно \(\mathrm{E}X = np\).
Например, в серии из 20 испытаний с вероятностью успеха \(0{,}2\) в каждом ожидаемое число успехов равно \(20 \cdot 0{,}2 = 4\).
Ответ: если случайная величина \(X\) — число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) в каждом отдельном испытании, то есть \(X \sim Bi(n,\ p)\), то \(\mathrm{E}X = np\).
