Вопросы после параграфа §32 на странице 159, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Совместное распределение задаёт вероятность каждой пары значений \((x_i,\ y_j)\), и эта вероятность стоит в своей клетке таблицы. При одном проведении опыта величина \(X\) принимает ровно одно значение, и величина \(Y\) — ровно одно, поэтому каждому исходу опыта отвечает ровно одна клетка, а разным клеткам — несовместные события.

Значит, складывая все числа таблицы, мы складываем вероятности всех элементарных событий опыта, а эта сумма равна 1.

Ответ: сумма всех вероятностей в совместном распределении равна 1, потому что это сумма вероятностей всех элементарных событий опыта.

В первом столбце таблицы записаны значения первой величины, в первой строке — значения второй, а вероятности стоят на их пересечениях: своя ячейка у каждой пары «значение первой величины, значение второй». Каждое из 4 значений первой величины сочетается с каждым из 3 значений второй, поэтому таких пар \(4 \cdot 3 = 12\).

Строка значений и столбец значений в счёт не идут: вероятностей в них нет.

Ответ: 12 ячеек с вероятностями.

Маргинальное распределение — это распределение одной из двух величин, восстановленное по таблице их совместного распределения. Событие \(X = x_i\) происходит тогда и только тогда, когда осуществилась какая-нибудь пара строки \(x_i\), а эти пары несовместны, поэтому вероятность значения \(x_i\) равна сумме вероятностей всей строки. Так же вероятность значения \(y_j\) величины \(Y\) равна сумме вероятностей столбца \(y_j\).

Суммы по строкам приписывают справа от таблицы, суммы по столбцам — снизу, то есть на её полях; по английскому слову margin — «поле листа» — такие распределения и названы маргинальными.

Пусть, например, совместное распределение величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ \hline 2 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]

Суммы по строкам равны \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\) и \(0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}5\), суммы по столбцам — \(0{,}2 + 0{,}4 = 0{,}6\) и \(0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4\). Маргинальные распределения таковы:

\[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]

Ответ: маргинальное распределение — это распределение одной из величин, полученное по таблице совместного распределения: вероятность значения \(X\) равна сумме вероятностей его строки, а вероятность значения \(Y\) — сумме вероятностей его столбца.

Условное (частное) распределение — это распределение одной из величин при условии, что вторая приняла известное значение. Его получают так: берут строку (или столбец), отвечающую условию, и делят каждую её вероятность на маргинальную вероятность самого условия. Отношения вероятностей при этом не меняются, а их сумма становится равной 1, как и должно быть у распределения.

Возьмём то же совместное распределение:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ \hline 2 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ \hline \end{array}\]

Найдём распределение \(Y\) при условии \(X = 2\). Вероятность условия — сумма строки \(X = 2\), то есть \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}5\). Каждую вероятность этой строки делим на \(0{,}5\):

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(Y = 0 \mid X = 2) = \frac{\mathrm{P}(Y = 0,\ X = 2)}{\mathrm{P}(X = 2)} = {} \\ &= \frac{0{,}4}{0{,}5} = 0{,}8. \end{aligned}\]

Так же \(\mathrm{P}(Y = 1 \mid X = 2) = \dfrac{0{,}1}{0{,}5} = 0{,}2\). Условное распределение величины \(Y\) при условии \(X = 2\) таково:

\[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}.\]

Ответ: условное распределение — это распределение одной величины при условии, что вторая приняла известное значение; его получают делением вероятностей строки (столбца) этого условия на маргинальную вероятность условия.