Страница 157 номер 339, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

а) Величина \(X\) бесконечна: её значения \(3\), \(9\), \(27\), \(\ldots\) — степени числа 3, а вероятность значения \(3^k\) равна \(\dfrac{2}{3^k}\): \[X \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 27 & \ldots & 3^k & \ldots \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{2}{27} & \ldots & \dfrac{2}{3^k} & \ldots \end{pmatrix}.\]

Вероятности образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \(\frac{2}{3}\) и знаменателем \(\frac{1}{3}\), и их сумма равна \(\dfrac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = 1\), как и должно быть у распределения.

Составим сумму, которой задано математическое ожидание. Слагаемое с номером \(k\) равно \(3^k \cdot \dfrac{2}{3^k} = 2\) — оно одно и то же при любом \(k\), поэтому \[\mathrm{E}X = 3 \cdot \frac{2}{3} + 9 \cdot \frac{2}{9} + 27 \cdot \frac{2}{27} + \ldots = 2 + 2 + 2 + \ldots\]

Получилась бесконечная сумма двоек: сложив достаточно много слагаемых, можно превзойти любое наперёд заданное число, поэтому такая сумма не существует. Значит, математического ожидания у величины \(X\) нет.

б) Здесь вероятности те же, а значения — степени числа \(\sqrt{3}\): \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} & 3 & \ldots \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{2}{27} & \ldots \end{pmatrix}.\]

Каждое следующее значение больше предыдущего в \(\sqrt{3}\) раз, а каждая следующая вероятность меньше предыдущей в 3 раза.

Выпишем первые слагаемые суммы, задающей математическое ожидание: \(1 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\), затем \(\sqrt{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}\), затем \(3 \cdot \dfrac{2}{27} = \dfrac{2}{9}\). Каждое следующее слагаемое получается из предыдущего умножением на \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\): значение умножается на \(\sqrt{3}\), а вероятность делится на 3.

Значит, слагаемые образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = \dfrac{2}{3}\) и знаменателем \(q = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Так как \(\sqrt{3} > 1\), знаменатель по модулю меньше 1, и сумма такой прогрессии существует; она равна \(\dfrac{b_1}{1 - q}\). Следовательно, математическое ожидание существует: \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3} - 1} = {} \\ &= \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{3})}{3 \cdot 2} = {} \\ &= \frac{3 + \sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{aligned}\]

Ответ: а) математического ожидания у величины \(X\) не существует; б) \(\mathrm{E}X = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\).