Страница 163 номер 350, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

а) Совместное распределение величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей 32: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 2 \\ \hline -1 & 0{,}5 & 0{,}2 \\ \hline 3 & 0{,}3 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Найдём маргинальные распределения: суммы по строкам дают распределение \(X\), суммы по столбцам — распределение \(Y\):

\(\mathrm{P}(X = -1) = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7\), \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}3 + 0 = 0{,}3\);

\(\mathrm{P}(Y = 0) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\), \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}2 + 0 = 0{,}2\).

Возьмём пару значений \(x = 3\) и \(y = 2\). В этой клетке таблицы стоит ноль, то есть \(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = 2) = 0\), а произведение маргинальных вероятностей равно \(\mathrm{P}(X = 3) \cdot \mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06\). Равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) нарушено для этой пары значений, поэтому величины независимыми не являются.

б) Совместное распределение задано таблицей 33: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \st \\ \hline -4 & \dfrac{4}{72} & \dfrac{5}{72} & \dfrac{7}{72} \st \\ \hline 5 & \dfrac{4}{72} & \dfrac{7}{72} & \dfrac{11}{72} \st \\ \hline 7 & \dfrac{5}{72} & \dfrac{15}{72} & \dfrac{14}{72} \st \\ \hline \end{array}\]

Маргинальное распределение \(X\) — суммы по строкам:

\(\mathrm{P}(X = -4) = \dfrac{4 + 5 + 7}{72} = \dfrac{16}{72}\), \(\mathrm{P}(X = 5) = \dfrac{4 + 7 + 11}{72} = \dfrac{22}{72}\), \(\mathrm{P}(X = 7) = \dfrac{5 + 15 + 14}{72} = \dfrac{34}{72}\).

Маргинальное распределение \(Y\) — суммы по столбцам:

\(\mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{4 + 4 + 5}{72} = \dfrac{13}{72}\), \(\mathrm{P}(Y = 7) = \dfrac{5 + 7 + 15}{72} = \dfrac{27}{72}\), \(\mathrm{P}(Y = 10) = \dfrac{7 + 11 + 14}{72} = \dfrac{32}{72}\).

Проверим равенство в клетке \(x = -4\), \(y = 5\). Слева стоит \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 5) = \dfrac{4}{72} = \dfrac{288}{5184}\), справа \[\mathrm{P}(X = -4) \cdot \mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{16}{72} \cdot \dfrac{13}{72} = \dfrac{208}{5184}.\]

Числа \(\dfrac{288}{5184}\) и \(\dfrac{208}{5184}\) разные, поэтому уже для этой пары значений равенство не выполняется и величины независимыми не являются.

в) Совместное распределение задано таблицей 34: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \st \\ \hline -4 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]

Маргинальное распределение \(X\):

\(\mathrm{P}(X = -4) = \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1 + 2 + 3}{18} = \dfrac{1}{3}\), \(\mathrm{P}(X = 5) = \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{9} = \dfrac{2}{3}\).

Маргинальное распределение \(Y\):

\(\mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{6}\), \(\mathrm{P}(Y = 7) = \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{3}\), \(\mathrm{P}(Y = 10) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}\).

Здесь одной пары значений мало: чтобы утверждать независимость, равенство надо проверить во всех шести клетках. Проверяем:

\(\mathrm{P}(X = -4) \cdot \mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18} = \mathrm{P}(X = -4,\ Y = 5)\),

\(\mathrm{P}(X = -4) \cdot \mathrm{P}(Y = 7) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} = \mathrm{P}(X = -4,\ Y = 7)\),

\(\mathrm{P}(X = -4) \cdot \mathrm{P}(Y = 10) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} = \mathrm{P}(X = -4,\ Y = 10)\),

\(\mathrm{P}(X = 5) \cdot \mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{9} = \mathrm{P}(X = 5,\ Y = 5)\),

\(\mathrm{P}(X = 5) \cdot \mathrm{P}(Y = 7) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9} = \mathrm{P}(X = 5,\ Y = 7)\),

\(\mathrm{P}(X = 5) \cdot \mathrm{P}(Y = 10) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} = \mathrm{P}(X = 5,\ Y = 10)\).

Все шесть возможных равенств верны, а все вероятности ненулевые, поэтому величины \(X\) и \(Y\) независимы.

Ответ: а) нет, не независимы — \(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = 2) = 0\), а \(\mathrm{P}(X = 3) \cdot \mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}06\); б) нет, не независимы — \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 5) = \dfrac{288}{5184}\), а \(\mathrm{P}(X = -4) \cdot \mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{208}{5184}\); в) да, независимы — все шесть равенств выполнены.