Страница 170 номер 369, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
пол в кухне — 10 плиток в ширину и 12 плиток в длину
цвет каждой плитки — белый или чёрный, выбирается случайно

Найти: математическое ожидание числа швов между плитками одного цвета.

Решение:

Плиточник чередует цвета случайным образом: каждая плитка независимо от остальных оказывается белой или чёрной, и оба цвета для неё равновозможны, то есть имеют вероятность \(0{,}5\).

Сколько окажется швов между плитками одного цвета, заранее сказать нельзя: при одной укладке их больше, при другой меньше. Это случайная величина \(X\) — «число швов между плитками одного цвета».

Сначала сосчитаем все швы между двумя соседними плитками. В каждом из 12 рядов лежит по 10 плиток, соседние плитки ряда дают \(10 - 1 = 9\) швов, и швов внутри рядов \(12 \cdot 9 = 108\). В каждом из 10 столбцов лежит по 12 плиток, они дают \(12 - 1 = 11\) швов, и швов внутри столбцов \(10 \cdot 11 = 110\). Всего швов \[108 + 110 = 218.\]

Занумеруем швы и для \(k\)-го шва введём индикатор \(I_k\) события «этот шов разделяет две одноцветные плитки». Две плитки, разделённые швом, окрашиваются независимо друг от друга, и для каждой оба цвета равновозможны, поэтому равновозможны четыре сочетания цветов: «белая — белая», «белая — чёрная», «чёрная — белая», «чёрная — чёрная». Одноцветными оказываются два сочетания из четырёх, значит, \[\mathrm{P}(I_k = 1) = \frac{2}{4} = 0{,}5.\]

Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события, поэтому \(\mathrm{E}I_k = 0{,}5\) при каждом \(k\).

Число одноцветных швов — это сумма всех индикаторов: \(X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{218}\). Математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых, и независимость для этого не нужна — а соседние швы и правда зависимы, ведь они опираются на общую плитку. Поэтому \[\mathrm{E}X = 218 \cdot 0{,}5 = 109.\]

Ответ: число швов между плитками одного цвета — случайная величина, её математическое ожидание равно 109.