Страница 164 номер 354, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VII. Математическое ожидание. §33. Независимые случайные величины. Страница 164. Номер 354

Решение:

Совместное распределение независимых величин \(X\) и \(Y\) с пустой строкой \(X = 3\) (таблица 35): \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -1 & 1 \\ \hline -3 & 0{,}15 & 0{,}1 \\ \hline 3 & \phantom{0{,}00} & \phantom{0{,}00} \\ \hline \end{array}\]

Сумма строки — маргинальная вероятность значения \(X\), и первая строка заполнена целиком: \(\mathrm{P}(X = -3) = 0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25\).

Сумма всех вероятностей равна 1, поэтому \(\mathrm{P}(X = 3) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). Две пустые клетки в сумме дают \(0{,}75\), а по отдельности их делает однозначными независимость величин.

По независимости клетка равна произведению маргинальных вероятностей, поэтому из первой строки \(0{,}15 = 0{,}25 \cdot \mathrm{P}(Y = -1)\) и \(0{,}1 = 0{,}25 \cdot \mathrm{P}(Y = 1)\), откуда \[\mathrm{P}(Y = -1) = \dfrac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6, \qquad \mathrm{P}(Y = 1) = \dfrac{0{,}1}{0{,}25} = 0{,}4.\]

\(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = -1) = 0{,}75 \cdot 0{,}6 = 0{,}45\) — левая пустая клетка.

\(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = 1) = 0{,}75 \cdot 0{,}4 = 0{,}3\) — правая пустая клетка.

Заполненная таблица: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -1 & 1 \\ \hline -3 & 0{,}15 & 0{,}1 \\ \hline 3 & 0{,}45 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: \(0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}45 + 0{,}3 = 1\).

Ответ: в строке \(X = 3\) стоят вероятности \(0{,}45\) (при \(Y = -1\)) и \(0{,}3\) (при \(Y = 1\)), то есть совместное распределение таково: \(\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -1 & 1 \\ \hline -3 & 0{,}15 & 0{,}1 \\ \hline 3 & 0{,}45 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}\)

Решение:

Таблица 35 задаёт совместное распределение независимых случайных величин \(X\) и \(Y\), но строка \(X = 3\) в ней пуста: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -1 & 1 \\ \hline -3 & 0{,}15 & 0{,}1 \\ \hline 3 & \phantom{0{,}00} & \phantom{0{,}00} \\ \hline \end{array}\]

Сумма вероятностей строки — это маргинальная вероятность соответствующего значения \(X\), а первая строка заполнена целиком: \[\mathrm{P}(X = -3) = 0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25.\]

Сумма всех вероятностей совместного распределения равна 1, поэтому \(\mathrm{P}(X = 3) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). Это значит только, что две пустые клетки в сумме дают \(0{,}75\); каждую по отдельности сумма не определяет. Однозначными их делает независимость величин.

По независимости каждая клетка равна произведению маргинальных вероятностей. Для первой строки это даёт \(0{,}15 = 0{,}25 \cdot \mathrm{P}(Y = -1)\) и \(0{,}1 = 0{,}25 \cdot \mathrm{P}(Y = 1)\), откуда \[\mathrm{P}(Y = -1) = \dfrac{0{,}15}{0{,}25} = 0{,}6, \qquad \mathrm{P}(Y = 1) = \dfrac{0{,}1}{0{,}25} = 0{,}4.\]

Сумма этих двух вероятностей равна 1, как и должно быть у распределения одной величины. Теперь пустые клетки находятся тем же умножением: \(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = -1) = 0{,}75 \cdot 0{,}6 = 0{,}45\) и \(\mathrm{P}(X = 3,\ Y = 1) = 0{,}75 \cdot 0{,}4 = 0{,}3\). Заполненная таблица: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -1 & 1 \\ \hline -3 & 0{,}15 & 0{,}1 \\ \hline 3 & 0{,}45 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}\]

Проверка: сумма всех четырёх вероятностей равна \(0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}45 + 0{,}3 = 1\), и каждая клетка равна произведению маргинальных вероятностей: \(0{,}25 \cdot 0{,}6 = 0{,}15\), \(0{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}1\), \(0{,}75 \cdot 0{,}6 = 0{,}45\), \(0{,}75 \cdot 0{,}4 = 0{,}3\).