Страница 164 номер 358, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Докажите, что если события \(A\) и \(B\) независимы, то независимы и индикаторы этих событий.
\(\mathrm{P}(A) = p\), \(\mathrm{P}(B) = q\); события независимы, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = pq\).
Индикатор события равен 1, если событие произошло, и 0 в противном случае, поэтому маргинальные распределения таковы: \[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - p & p \end{pmatrix}, \quad I_B \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q & q \end{pmatrix}.\]
Оба события произошли: \(\mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 1) = \mathrm{P}(A \cap B) = pq\).
Событие \(A\) разбивается на два несовместных — «произошли \(A\) и \(B\)» и «произошло \(A\), но не произошло \(B\)», поэтому \(\mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 0) = p - pq = p(1 - q)\).
Так же разбивается событие \(B\), откуда \(\mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 1) = q - pq = (1 - p)q\).
Сумма вероятностей строки \(I_A = 0\) равна \(\mathrm{P}(I_A = 0) = 1 - p\), поэтому \(\mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 0) = (1 - p) - (1 - p)q = (1 - p)(1 - q)\).
Совместное распределение целиком: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline I_A \backslash I_B & 0 & 1 \\ \hline 0 & (1-p)(1-q) & (1-p)q \\ \hline 1 & p(1-q) & pq \\ \hline \end{array}\]
Маргинальные вероятности равны \(1 - p\) и \(p\) у величины \(I_A\), \(1 - q\) и \(q\) у величины \(I_B\), и каждая клетка таблицы — в точности произведение своих маргинальных вероятностей: \((1-p)(1-q)\), \((1-p)q\), \(p(1-q)\), \(pq\). Других пар значений у бинарных величин нет, поэтому равенство \(\mathrm{P}(I_A = i,\ I_B = j) = \mathrm{P}(I_A = i) \cdot \mathrm{P}(I_B = j)\) верно при всех возможных значениях, что и требовалось.
Ответ: у независимых событий \(A\) и \(B\) каждая клетка совместного распределения индикаторов равна произведению соответствующих маргинальных вероятностей, поэтому случайные величины \(I_A\) и \(I_B\) независимы.
Докажите, что если события \(A\) и \(B\) независимы, то независимы и индикаторы этих событий.
Обозначим вероятности событий: \(\mathrm{P}(A) = p\), \(\mathrm{P}(B) = q\). События \(A\) и \(B\) независимы, поэтому \(\mathrm{P}(A \cap B) = pq\).
Индикатор события равен 1, если событие произошло, и 0 в противном случае, поэтому распределения индикаторов таковы: \[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - p & p \end{pmatrix}, \quad I_B \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q & q \end{pmatrix}.\]
Это и есть маргинальные распределения. Найдём все четыре клетки совместного распределения.
Оба события произошли: \(\mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 1) = \mathrm{P}(A \cap B) = pq\).
Событие \(A\) произошло, а \(B\) не произошло. Событие \(A\) разбивается на два несовместных события: «произошли \(A\) и \(B\)» и «произошло \(A\), но не произошло \(B\)», поэтому \(\mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 0) = p - pq = p(1 - q)\).
Так же событие \(B\) разбивается на два несовместных, откуда \(\mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 1) = q - pq = (1 - p)q\).
Последняя клетка находится из суммы по строке: вероятности строки \(I_A = 0\) дают в сумме \(\mathrm{P}(I_A = 0) = 1 - p\), поэтому \(\mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 0) = (1 - p) - (1 - p)q = (1 - p)(1 - q)\).
Совместное распределение целиком: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline I_A \backslash I_B & 0 & 1 \\ \hline 0 & (1-p)(1-q) & (1-p)q \\ \hline 1 & p(1-q) & pq \\ \hline \end{array}\]
Сумма всех четырёх вероятностей равна \((1-p)(1-q) + (1-p)q + p(1-q) + pq = (1 - p) + p = 1\), как и должно быть у совместного распределения.
Сравним каждую клетку с произведением маргинальных вероятностей:
\(\mathrm{P}(I_A = 0) \cdot \mathrm{P}(I_B = 0) = (1-p)(1-q) = \mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 0)\),
\(\mathrm{P}(I_A = 0) \cdot \mathrm{P}(I_B = 1) = (1-p)q = \mathrm{P}(I_A = 0,\ I_B = 1)\),
\(\mathrm{P}(I_A = 1) \cdot \mathrm{P}(I_B = 0) = p(1-q) = \mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 0)\),
\(\mathrm{P}(I_A = 1) \cdot \mathrm{P}(I_B = 1) = pq = \mathrm{P}(I_A = 1,\ I_B = 1)\).
Других пар значений у бинарных величин нет, поэтому равенство \(\mathrm{P}(I_A = i,\ I_B = j) = \mathrm{P}(I_A = i) \cdot \mathrm{P}(I_B = j)\) верно при всех возможных значениях, что и требовалось.
Ответ: у независимых событий \(A\) и \(B\) каждая клетка совместного распределения индикаторов равна произведению соответствующих маргинальных вероятностей, поэтому случайные величины \(I_A\) и \(I_B\) независимы.
