Страница 161 номер 347, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Совместное распределение случайных величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей 30:

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline 0 & \dfrac{4}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{36} \st \\ \hline 1 & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{18} & 0 \st \\ \hline 2 & \dfrac{1}{36} & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\]

Обе величины принимают значения 0, 1 и 2. Общий знаменатель всех клеток — 36, поэтому суммы удобно считать в тридцать шестых долях: \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{16}{36}\), \(\dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{36}\), \(\dfrac{1}{18} = \dfrac{2}{36}\).

а) Вероятность значения \(X\) равна сумме вероятностей его строки:

\[\frac{16}{36} + \frac{8}{36} + \frac{1}{36} = \frac{25}{36}, \qquad \frac{8}{36} + \frac{2}{36} + 0 = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}, \qquad \frac{1}{36} + 0 + 0 = \frac{1}{36}.\]

Вероятность значения \(Y\) равна сумме вероятностей его столбца:

\[\frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{36} = \frac{25}{36}, \qquad \frac{2}{9} + \frac{1}{18} + 0 = \frac{4}{18} + \frac{1}{18} = \frac{5}{18}, \qquad \frac{1}{36} + 0 + 0 = \frac{1}{36}.\]

Таблица симметрична относительно своей главной диагонали, поэтому суммы по строкам и суммы по столбцам получились одинаковыми, и распределения величин совпали:

\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{5}{18} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{5}{18} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}.\]

Сумма вероятностей каждого из них равна \(\dfrac{25}{36} + \dfrac{10}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{36}{36} = 1\).

б) Условие наложено на \(Y\), поэтому берётся столбец \(Y = 0\), а делить его вероятности надо на вероятность условия \(\mathrm{P}(Y = 0) = \dfrac{25}{36}\):

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X = 0 \mid Y = 0) = \frac{\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0)}{\mathrm{P}(Y = 0)} = {} \\ &= \frac{4}{9} : \frac{25}{36} = \frac{4}{9} \cdot \frac{36}{25} = \frac{16}{25}. \end{aligned}\]

Так же \(\mathrm{P}(X = 1 \mid Y = 0) = \dfrac{2}{9} : \dfrac{25}{36} = \dfrac{8}{25}\) и \(\mathrm{P}(X = 2 \mid Y = 0) = \dfrac{1}{36} : \dfrac{25}{36} = \dfrac{1}{25}\). Условное распределение величины \(X\) при условии \(Y = 0\) таково:

\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{16}{25} & \dfrac{8}{25} & \dfrac{1}{25} \end{pmatrix}.\]

Сумма его вероятностей равна \(\dfrac{16 + 8 + 1}{25} = \dfrac{25}{25} = 1\).

в) Здесь условие наложено на \(X\), поэтому берётся строка \(X = 1\), а вероятность условия равна \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{5}{18}\):

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(Y = 0 \mid X = 1) = \frac{\mathrm{P}(Y = 0,\ X = 1)}{\mathrm{P}(X = 1)} = {} \\ &= \frac{2}{9} : \frac{5}{18} = \frac{2}{9} \cdot \frac{18}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8. \end{aligned}\]

Далее \(\mathrm{P}(Y = 1 \mid X = 1) = \dfrac{1}{18} : \dfrac{5}{18} = 0{,}2\), а \(\mathrm{P}(Y = 2 \mid X = 1) = 0\), потому что клетка строки \(X = 1\) в столбце \(Y = 2\) нулевая: при \(X = 1\) значение \(Y = 2\) невозможно. Условное распределение величины \(Y\) при условии \(X = 1\) таково:

\[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}8 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}.\]

Сумма его вероятностей равна \(0{,}8 + 0{,}2 + 0 = 1\).

Ответ: а) распределения совпадают: \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{5}{18} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}\) и \(Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{5}{18} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{16}{25} & \dfrac{8}{25} & \dfrac{1}{25} \end{pmatrix}\); в) \(Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}8 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}\).