Страница 161 номер 346, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Вероятность значения \(X = x\) равна сумме вероятностей строки \(x\) (пары строки несовместны), а вероятность значения \(Y = y\) — сумме вероятностей столбца \(y\).
а) Таблица 28: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \\ \hline -4 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \hline 5 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}\]
Суммы по строкам: \(0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4\) и \(0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}6\).
Суммы по столбцам: \(0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\), \(0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\) и \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\). \[X \sim \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 5 & 7 & 10 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
б) Таблица 29: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline 1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}15 \\ \hline 2 & 0{,}1 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}\]
Суммы по строкам: \(0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}25\), \(0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}45\) и \(0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}3\).
Суммы по столбцам: \(0{,}05 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}25\), \(0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}5\) и \(0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}25\). \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}3 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\), \(Y \sim \begin{pmatrix} 5 & 7 & 10 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}3 \end{pmatrix}\), \(Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}\).
Вероятность значения \(X = x\) равна сумме вероятностей всей строки \(x\): событие \(X = x\) происходит тогда и только тогда, когда осуществилась какая-нибудь пара этой строки, а эти пары несовместны. Так же вероятность значения \(Y = y\) равна сумме вероятностей столбца \(y\).
а) Совместное распределение дано таблицей 28:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \\ \hline -4 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \hline 5 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}\]
Величина \(X\) принимает значения \(-4\) и 5. Суммы по строкам равны \(0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4\) и \(0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}6\).
Величина \(Y\) принимает значения 5, 7 и 10. Суммы по столбцам равны \(0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\), \(0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\) и \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\). Значит, распределения таковы:
\[X \sim \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 5 & 7 & 10 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей в каждом из них равна 1: \(0{,}4 + 0{,}6 = 1\) и \(0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}5 = 1\); столько же даёт и сумма всех клеток таблицы.
б) Совместное распределение дано таблицей 29:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline 1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}15 \\ \hline 2 & 0{,}1 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}\]
Обе величины принимают значения 0, 1 и 2. Суммы по строкам равны \(0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}25\), \(0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}45\) и \(0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}3\).
Суммы по столбцам равны \(0{,}05 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}25\), \(0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}5\) и \(0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}25\). Значит,
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}3 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей каждого распределения снова равна 1: \(0{,}25 + 0{,}45 + 0{,}3 = 1\) и \(0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 = 1\).
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\), \(Y \sim \begin{pmatrix} 5 & 7 & 10 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}3 \end{pmatrix}\), \(Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}\).
