Страница 160 номер 345, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) — число выпавших орлов, \(Y\) — число решек. Монета симметричная, броски не влияют друг на друга, поэтому все последовательности равновозможны. При каждом броске выпадает одна из сторон, поэтому \(X + Y\) равно числу бросков: каждому значению \(X\) отвечает единственное значение \(Y\), а в клетках прочих пар стоят нули.
а) Два броска дают \(2^2 = 4\) равновозможных исхода: ОО, ОР, РО и РР (О — орёл, Р — решка), вероятность каждого \(\dfrac{1}{4}\); обе величины принимают значения 0, 1 и 2, причём \(X + Y = 2\).
\(X = 0\), \(Y = 2\) — исход РР: \(\dfrac{1}{4}\).
\(X = 1\), \(Y = 1\) — исходы ОР и РО: \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
\(X = 2\), \(Y = 0\) — исход ОО: \(\dfrac{1}{4}\). Остальные шесть пар невозможны: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \st \\ \hline 2 & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1\).
б) Три броска дают \(2^3 = 8\) равновозможных исходов, вероятность каждого \(\dfrac{1}{8}\); обе величины принимают значения 0, 1, 2 и 3, причём \(X + Y = 3\).
\(X = 0\), \(Y = 3\) — исход РРР: \(\dfrac{1}{8}\).
\(X = 1\), \(Y = 2\) — исходы ОРР, РОР и РРО: \(\dfrac{3}{8}\).
\(X = 2\), \(Y = 1\) — исходы ООР, ОРО и РОО: \(\dfrac{3}{8}\).
\(X = 3\), \(Y = 0\) — исход ООО: \(\dfrac{1}{8}\). Прочие двенадцать пар невозможны: \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 \st \\ \hline 2 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 & 0 \st \\ \hline 3 & \dfrac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = 1\).
Ответ: а) \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \st \\ \hline 2 & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\); б) \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 \st \\ \hline 2 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 & 0 \st \\ \hline 3 & \dfrac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\).
Симметричную монету бросают несколько раз. Случайная величина \(X\) равна числу выпавших орлов, а \(Y\) — числу выпавших решек.
Монета симметричная, броски не влияют друг на друга, поэтому все последовательности бросков равновозможны. При каждом броске выпадает либо орёл, либо решка, поэтому \(X + Y\) равно числу бросков при любом исходе: каждому значению \(X\) отвечает единственное возможное значение \(Y\), а все прочие пары значений имеют вероятность 0, и в таблице совместного распределения в этих клетках стоят нули.
а) Два броска дают \(2^2 = 4\) равновозможных исхода: ОО, ОР, РО и РР (О — орёл, Р — решка). Вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{4}\). Обе величины принимают значения 0, 1 и 2, причём \(X + Y = 2\).
Паре \(X = 0\), \(Y = 2\) отвечает исход РР, поэтому её вероятность равна \(\dfrac{1}{4}\). Паре \(X = 1\), \(Y = 1\) отвечают два исхода — ОР и РО, поэтому её вероятность равна \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\). Паре \(X = 2\), \(Y = 0\) отвечает исход ОО с вероятностью \(\dfrac{1}{4}\). Остальные шесть пар невозможны:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \st \\ \hline 2 & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: сумма всех вероятностей таблицы равна \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = 1\).
б) Три броска дают \(2^3 = 8\) равновозможных исходов, вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{8}\). Обе величины принимают значения 0, 1, 2 и 3, причём \(X + Y = 3\).
Паре \(X = 0\), \(Y = 3\) отвечает один исход РРР, её вероятность равна \(\dfrac{1}{8}\). Паре \(X = 1\), \(Y = 2\) отвечают три исхода — ОРР, РОР и РРО, её вероятность равна \(\dfrac{3}{8}\). Паре \(X = 2\), \(Y = 1\) отвечают исходы ООР, ОРО и РОО, её вероятность тоже равна \(\dfrac{3}{8}\). Паре \(X = 3\), \(Y = 0\) отвечает один исход ООО с вероятностью \(\dfrac{1}{8}\). Прочие двенадцать пар невозможны:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 \st \\ \hline 2 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 & 0 \st \\ \hline 3 & \dfrac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: сумма всех вероятностей таблицы равна \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = 1\).
Ответ: а) \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \st \\ \hline 2 & \dfrac{1}{4} & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\); б) \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{8} \st \\ \hline 1 & 0 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 \st \\ \hline 2 & 0 & \dfrac{3}{8} & 0 & 0 \st \\ \hline 3 & \dfrac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \st \\ \hline \end{array}\).
