Страница 160 номер 342, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Совместное распределение величин \(X\) и \(Y\): \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \st \\ \hline -4 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]
Вероятность события равна сумме вероятностей отвечающих ему клеток.
а) Пара \(X = -4\), \(Y = 7\) — одна клетка на пересечении строки \(-4\) и столбца 7: \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 7) = \dfrac{1}{9}\).
б) Событию \(X = 5\) отвечают три несовместные пары строки \(X = 5\): \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X = 5) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{2}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
в) Условию \(X > 0\) отвечает только значение 5 (число \(-4\) отрицательно), условию \(Y > 6\) — числа 7 и 10, поэтому остаются две клетки строки \(X = 5\): \[\mathrm{P}(X > 0,\ Y > 6) = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 7) = \dfrac{1}{9}\); б) \(\mathrm{P}(X = 5) = \dfrac{2}{3}\); в) \(\mathrm{P}(X > 0,\ Y > 6) = \dfrac{5}{9}\).
Совместное распределение случайных величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей 27:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \st \\ \hline -4 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]
В каждой клетке стоит вероятность пары значений, поэтому вероятность события, описанного условиями на \(X\) и \(Y\), равна сумме вероятностей тех клеток, которые этим условиям отвечают.
а) Пара \(X = -4\), \(Y = 7\) занимает одну клетку — на пересечении строки \(-4\) и столбца 7, поэтому \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 7) = \dfrac{1}{9}\).
б) Событие \(X = 5\) происходит, когда осуществилась любая из трёх пар строки \(X = 5\), и эти пары несовместны. Значит, его вероятность равна сумме вероятностей всей строки:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(X = 5) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = {} \\ &= \frac{2}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
в) Из значений \(X\) условию \(X > 0\) отвечает только значение 5, потому что число \(-4\) отрицательно. Из значений \(Y\) условию \(Y > 6\) отвечают числа 7 и 10, а значение 5 не подходит. Остаются две клетки строки \(X = 5\) — столбцов 7 и 10:
\[\mathrm{P}(X > 0,\ Y > 6) = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = -4,\ Y = 7) = \dfrac{1}{9}\); б) \(\mathrm{P}(X = 5) = \dfrac{2}{3}\); в) \(\mathrm{P}(X > 0,\ Y > 6) = \dfrac{5}{9}\).
