Страница 169 номер 366, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
шаров в ящике — 49
номера шаров — от 1 до 49
вынимают 6 случайных шаров
Найти: математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах, если: а) каждый шар возвращается в ящик; б) вынутые шары не возвращаются.
Решение:
\(X_k\) — число на шаре, вынутом \(k\)-м, где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\); сумма чисел на вынутых шарах — величина \[S = X_1 + X_2 + \ldots + X_6.\]
Ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых, причём независимость слагаемых для этого не нужна, — достаточно найти ожидание каждого слагаемого.
а) Каждый шар возвращается, поэтому любой из шести шаров вынимают из полного ящика и все 49 номеров равновозможны: \(\mathrm{P}(X_k = i) = \frac{1}{49}\) при \(i = 1,\ 2,\ \ldots,\ 49\).
\[\mathrm{E}X_k = \frac{1 + 2 + \ldots + 49}{49} = \frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 49} = 25.\]
\(\mathrm{E}S = 6 \cdot 25 = 150\) — ожидание суммы.
б) Теперь слагаемые зависимы: если первым вынут шар с номером 7, то у второго шара этот номер уже невозможен. Но ожидание суммы равно сумме ожиданий при любой зависимости, и достаточно проверить ожидание каждого слагаемого.
Шары вынимают случайно, ни один из них ничем не выделен, поэтому \(k\)-м может оказаться с одинаковой вероятностью любой из 49 шаров: \(\mathrm{P}(X_k = i) = \frac{1}{49}\), как и в пункте а). Значит, \(\mathrm{E}X_k = 25\) и снова \(\mathrm{E}S = 6 \cdot 25 = 150\).
Ответ: а) математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах равно 150; б) математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах равно 150.
Дано:
шаров в ящике — 49
номера шаров — от 1 до 49
вынимают 6 случайных шаров
Найти: математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах, если: а) каждый шар возвращается в ящик; б) вынутые шары не возвращаются.
Решение:
Обозначим числа на вынутых шарах в порядке вынимания: \(X_1\) — «число на первом вынутом шаре», \(X_2\) — «число на втором вынутом шаре», и так далее до шестого шара; величину с номером \(k\) обозначаем \(X_k\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\). Сумма чисел на вынутых шарах — это случайная величина \[S = X_1 + X_2 + \ldots + X_6.\]
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, причём независимость слагаемых для этого правила не нужна. Поэтому в обоих пунктах достаточно найти ожидание каждого слагаемого.
а) Каждый шар возвращается в ящик, поэтому любой из шести шаров вынимают из полного ящика, в котором снова лежат все 49 шаров. Шар выбирается случайно, шары различаются только номерами, поэтому все 49 номеров равновозможны: \(\mathrm{P}(X_k = i) = \frac{1}{49}\) при \(i = 1,\ 2,\ \ldots,\ 49\). Тогда ожидание каждого слагаемого равно \[\mathrm{E}X_k = \frac{1 + 2 + \ldots + 49}{49} = \frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 49} = 25.\]
Значит, математическое ожидание суммы равно \(\mathrm{E}S = 6 \cdot 25 = 150\).
б) Теперь слагаемые зависимы: если первым вынут шар с номером 7, то у второго шара этот номер уже невозможен. Но ожидание суммы равно сумме ожиданий при любой зависимости, и достаточно проверить, что ожидание каждого слагаемого не изменилось.
Шары вынимают случайно, ни один из них ничем не выделен, поэтому \(k\)-м может оказаться с одинаковой вероятностью любой из 49 шаров: \(\mathrm{P}(X_k = i) = \frac{1}{49}\) при \(i = 1,\ 2,\ \ldots,\ 49\), как и в пункте а). Значит, \(\mathrm{E}X_k = 25\) при каждом \(k\), и снова \(\mathrm{E}S = 6 \cdot 25 = 150\).
Ответ: а) математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах равно 150; б) математическое ожидание суммы чисел на вынутых шарах равно 150.
