Вопросы после параграфа §33 на странице 163, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Две случайные величины \(X\) и \(Y\) называются независимыми, если независимы любые два события, которые по отдельности можно выразить через значения величин \(X\) и \(Y\). Та же мысль другими словами: распределение каждой из двух величин не зависит от того, какое значение приняла другая.

Для независимых событий \(A\) и \(B\) верно \(\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)\), поэтому у независимых случайных величин при любых возможных значениях \(x\) и \(y\) выполняется равенство \[\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y).\]

Это равенство и служит рабочим признаком независимости: если оно нарушено хотя бы для одной пары значений, величины \(X\) и \(Y\) независимыми не являются. Например, при двукратном бросании игрального кубика число очков первого броска и число очков второго броска независимы, а рост и масса тела человека — нет.

Ответ: случайные величины \(X\) и \(Y\) независимы, если независимы любые два события, выраженные по отдельности через значения \(X\) и \(Y\); равносильный признак — равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) при всех возможных значениях \(x\) и \(y\).

Вероятность выпадения орла в одном броске обозначим \(p\), вероятность решки — \(q = 1 - p\). Про монету известно только, что она обычная, поэтому симметрии не предполагаем, а знаем лишь, что \(0 < p < 1\): оба исхода возможны. Броски не влияют друг на друга.

Независимые величины. Пусть \(I_3 = 1\), если в третьем броске выпал орёл, и \(I_3 = 0\) в противном случае; так же устроена величина \(I_7\) для седьмого броска. Событие «\(I_3 = i\)» выражено через третий бросок, событие «\(I_7 = j\)» — через седьмой, а события, связанные с разными бросками, независимы. Поэтому вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(I_3 = 1,\ I_7 = 1) = p^2, \quad \mathrm{P}(I_3 = 1,\ I_7 = 0) = pq, \\ &\mathrm{P}(I_3 = 0,\ I_7 = 1) = qp, \quad \mathrm{P}(I_3 = 0,\ I_7 = 0) = q^2. \end{aligned}\]

Маргинальные вероятности здесь равны \(\mathrm{P}(I_3 = 1) = \mathrm{P}(I_7 = 1) = p\) и \(\mathrm{P}(I_3 = 0) = \mathrm{P}(I_7 = 0) = q\), так что все четыре клетки совпали с произведениями — величины \(I_3\) и \(I_7\) независимы. Заметим, что значение \(p\) при этом не понадобилось: независимость от симметрии монеты не зависит.

Зависимые величины. Пусть \(X\) — число выпавших орлов, а \(Y\) — число выпавших решек. Бросков всего 10, поэтому при любом исходе \(X + Y = 10\). Событие «\(X = 10\) и \(Y = 10\)» невозможно, значит, \(\mathrm{P}(X = 10,\ Y = 10) = 0\). При этом \(\mathrm{P}(X = 10) = p^{10} > 0\) (все десять бросков дали орла) и \(\mathrm{P}(Y = 10) = q^{10} > 0\), поэтому \(\mathrm{P}(X = 10) \cdot \mathrm{P}(Y = 10) = p^{10}q^{10} > 0\). Равенство признака нарушено — величины \(X\) и \(Y\) зависимы.

Ответ: независимы, например, \(I_3\) и \(I_7\) — индикаторы выпадения орла в третьем и в седьмом бросках; зависимы число выпавших орлов \(X\) и число выпавших решек \(Y\), так как \(\mathrm{P}(X = 10,\ Y = 10) = 0\), а \(\mathrm{P}(X = 10) \cdot \mathrm{P}(Y = 10) = p^{10}q^{10} > 0\).

Пусть \(X\) — число очков, выпавшее на кубике, а \(Y\) — число, выпавшее на 20-граннике: на гранях кубика стоят числа от 1 до 6, на гранях икосаэдра — от 1 до 20. Кости бросают в одном опыте, но исход одной кости не влияет на исход другой, и у каждой кости любая грань может выпасть.

Независимые величины — это сами \(X\) и \(Y\). Событие «\(X = x\)» выражено через одну кость, событие «\(Y = y\)» — через другую, а такие события независимы, поэтому \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) при любых возможных значениях. Считать вероятности отдельных граней для этого не нужно.

Зависимые величины — число очков на кубике \(X\) и сумма очков обеих костей \(Z = X + Y\). Наибольшее значение суммы равно 26, и получается оно единственным образом: на кубике 6, на 20-граннике 20. Поэтому \(\mathrm{P}(X = 1,\ Z = 26) = 0\), тогда как \(\mathrm{P}(X = 1) > 0\) и \(\mathrm{P}(Z = 26) = \mathrm{P}(X = 6,\ Y = 20) > 0\), то есть произведение \(\mathrm{P}(X = 1) \cdot \mathrm{P}(Z = 26)\) положительно. Равенство признака нарушено — величины \(X\) и \(Z\) зависимы. То же видно и по устройству опыта: узнав число очков на кубике, мы меняем набор возможных значений суммы (при \(X = 1\) сумма не больше 21, а при \(X = 6\) она не меньше 7).

Ответ: независимы число очков на кубике \(X\) и число очков на 20-граннике \(Y\); зависимы число очков на кубике \(X\) и сумма очков \(Z = X + Y\), потому что \(\mathrm{P}(X = 1,\ Z = 26) = 0\), а произведение \(\mathrm{P}(X = 1) \cdot \mathrm{P}(Z = 26)\) положительно.

Величина \(-X\) принимает значение \(a\) ровно тогда, когда величина \(X\) принимает значение \(-a\): это одно и то же событие. Точно так же событие «\(-Y = b\)» — это событие «\(Y = -b\)». Поэтому при любых возможных значениях \(a\) и \(b\) \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(-X = a,\ -Y = b) = \mathrm{P}(X = -a,\ Y = -b) = {} \\ &= \mathrm{P}(X = -a) \cdot \mathrm{P}(Y = -b) = \mathrm{P}(-X = a) \cdot \mathrm{P}(-Y = b). \end{aligned}\]

Второе равенство в этой цепочке верно потому, что величины \(X\) и \(Y\) независимы. Признак независимости выполнен для всех пар значений, значит, величины \(-X\) и \(-Y\) независимы.

Ответ: да, случайные величины \(-X\) и \(-Y\) независимы.