Страница 170 номер 372, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросили некоторое число раз, и сумма всех выпавших очков оказалась равна в точности 105. Найдите математическое ожидание случайной величины \(X\) «число сделанных бросков».
Кубик правильный: все шесть граней равновозможны, поэтому число очков при одном броске имеет математическое ожидание \(\frac{1 + 2 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5\).
При каждом броске выпадает не меньше одного очка, поэтому бросков, давших в сумме 105 очков, не больше 105.
Рассмотрим серию из 105 бросков — их заведомо хватит. Пусть \(X_k\) — «число очков при броске с номером \(k\)», где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 105\); каждая такая величина имеет распределение одного броска, поэтому \(\mathrm{E}X_k = 3{,}5\).
Пусть \(I_k\) — индикатор события «бросок с номером \(k\) состоялся»: он равен 1, если к этому моменту сумма очков состоявшихся бросков была меньше 105, и равен 0 иначе. Тогда число сделанных бросков \(X\) — это сумма индикаторов: \[X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{105}.\]
Произведение \(I_kX_k\) равно числу очков \(k\)-го броска, если бросок состоялся, и нулю, если не состоялся, поэтому сумма всех произведений — это сумма очков состоявшихся бросков, а она по условию равна 105: \[I_1X_1 + I_2X_2 + \ldots + I_{105}X_{105} = 105.\]
Броски не влияют друг на друга, поэтому величины \(I_k\) и \(X_k\) независимы при каждом \(k\): состоялся ли бросок с номером \(k\), решают только броски с меньшими номерами, а величина \(X_k\) — это результат самого этого броска. Значит, ожидание произведения равно произведению ожиданий: \(\mathrm{E}(I_kX_k) = \mathrm{E}I_k \cdot \mathrm{E}X_k = 3{,}5\mathrm{E}I_k\).
Левая часть равенства при любом исходе равна 105, то есть постоянна, а ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной: \(\mathrm{E}(I_1X_1 + I_2X_2 + \ldots + I_{105}X_{105}) = 105\).
Ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых, каждое слагаемое равно \(3{,}5\mathrm{E}I_k\), и общий множитель выносим за скобки: \[3{,}5 \cdot (\mathrm{E}I_1 + \mathrm{E}I_2 + \ldots + \mathrm{E}I_{105}) = 105.\]
Сумма в скобках — это \(\mathrm{E}X\), поэтому \(3{,}5\mathrm{E}X = 105\), откуда \[\mathrm{E}X = \frac{105}{3{,}5} = 30.\]
Ответ: математическое ожидание числа сделанных бросков равно 30.
Игральный кубик бросили некоторое число раз, и сумма всех выпавших очков оказалась равна в точности 105. Найдите математическое ожидание случайной величины \(X\) «число сделанных бросков».
Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, поэтому число очков при одном броске имеет математическое ожидание \(\frac{1 + 2 + \ldots + 6}{6} = 3{,}5\).
При каждом броске выпадает не меньше одного очка, поэтому бросков, давших в сумме 105 очков, не больше 105.
Рассмотрим серию из 105 бросков кубика — их заведомо хватит; броски, сделанные после того, как сумма очков достигла 105, в счёт не идут. Пусть \(X_k\) — «число очков при броске с номером \(k\)», где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 105\). Каждая такая величина имеет распределение одного броска, поэтому \(\mathrm{E}X_k = 3{,}5\).
Пусть \(I_k\) — индикатор события «бросок с номером \(k\) состоялся»: он равен 1, если к этому моменту сумма очков состоявшихся бросков была меньше 105, и равен 0 иначе. Тогда число сделанных бросков — это сумма индикаторов: \[X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{105}.\]
Произведение \(I_kX_k\) равно числу очков \(k\)-го броска, если бросок состоялся, и равно нулю, если не состоялся. Сумма всех таких произведений — это сумма очков состоявшихся бросков, а она по условию равна 105: \[I_1X_1 + I_2X_2 + \ldots + I_{105}X_{105} = 105.\]
Броски не влияют друг на друга, поэтому величины \(I_k\) и \(X_k\) независимы при каждом \(k\): состоялся ли бросок с номером \(k\), решают только броски с меньшими номерами, а величина \(X_k\) — это результат самого этого броска. Значит, ожидание произведения равно произведению ожиданий: \(\mathrm{E}(I_kX_k) = \mathrm{E}I_k \cdot \mathrm{E}X_k = 3{,}5\mathrm{E}I_k\).
Перейдём в записанном равенстве к математическим ожиданиям. Сумма \(I_1X_1 + I_2X_2 + \ldots + I_{105}X_{105}\) при любом исходе равна 105, то есть является постоянной величиной, а ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной. Поэтому \[\mathrm{E}(I_1X_1 + I_2X_2 + \ldots + I_{105}X_{105}) = 105.\]
Математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых, значит, \[\mathrm{E}(I_1X_1) + \mathrm{E}(I_2X_2) + \ldots + \mathrm{E}(I_{105}X_{105}) = 105.\]
Каждое слагаемое слева равно \(3{,}5\mathrm{E}I_k\), и общий множитель \(3{,}5\) выносим за скобки: \[3{,}5 \cdot (\mathrm{E}I_1 + \mathrm{E}I_2 + \ldots + \mathrm{E}I_{105}) = 105.\]
Сумма в скобках — это математическое ожидание величины \(X\): по тому же правилу об ожидании суммы \(\mathrm{E}X = \mathrm{E}I_1 + \mathrm{E}I_2 + \ldots + \mathrm{E}I_{105}\). Получаем равенство \(3{,}5\mathrm{E}X = 105\), откуда \[\mathrm{E}X = \frac{105}{3{,}5} = 30.\]
Ответ: математическое ожидание числа сделанных бросков равно 30.
