Страница 164 номер 353, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают дважды. Пусть \(X\) — количество выпавших единиц, а \(Y\) — число очков, выпавшее при первом броске. Являются ли эти случайные величины независимыми?
Кубик правильный, все шесть граней равновозможны, поэтому равновозможны и все \(6 \cdot 6 = 36\) пар «число очков первого броска; число очков второго броска».
\(X\) — количество выпавших единиц в обоих бросках, \(Y\) — число очков при первом броске; первый бросок участвует в обеих величинах, поэтому рассуждение «разные броски — значит, независимы» здесь неприменимо.
Единиц нет — в каждом броске одно из остальных пяти чисел: \(5 \cdot 5 = 25\) пар. Ровно одна единица — единица в первом броске и одно из пяти чисел во втором или наоборот: \(5 + 5 = 10\) пар. Две единицы — 1 пара. Всего \(25 + 10 + 1 = 36\), значит, \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{10}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
\(Y = 2\), когда первый бросок дал двойку, а второй мог быть любым, — это 6 пар из 36, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 2) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
Пара \(x = 2\), \(y = 2\) невозможна: при двойке в первом броске единица могла выпасть только во втором, и единиц не больше одной. Значит, \(\mathrm{P}(X = 2,\ Y = 2) = 0\), тогда как \[\mathrm{P}(X = 2) \cdot \mathrm{P}(Y = 2) = \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{216} \neq 0.\]
Равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) нарушено, поэтому величины независимыми не являются.
Ответ: нет, количество выпавших единиц и число очков первого броска не являются независимыми случайными величинами.
Игральный кубик бросают дважды. Пусть \(X\) — количество выпавших единиц, а \(Y\) — число очков, выпавшее при первом броске. Являются ли эти случайные величины независимыми?
Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а при двух бросках равновозможны все \(6 \cdot 6 = 36\) пар «число очков первого броска; число очков второго броска».
Случайная величина \(X\) — количество выпавших единиц, причём считаются единицы в обоих бросках; случайная величина \(Y\) — число очков, выпавшее при первом броске. Поэтому рассуждение «величины относятся к разным броскам, значит, независимы» здесь неприменимо: первый бросок участвует в обеих величинах.
Найдём распределение \(X\). Единица не выпала ни разу, если в каждом броске выпало одно из остальных пяти чисел, — это \(5 \cdot 5 = 25\) пар. Ровно одна единица получается, если единицу дал первый бросок, а второй — одно из пяти других чисел (5 пар), или наоборот (ещё 5 пар), всего 10 пар. Две единицы дают ровно одну пару. Все 36 пар распределились по трём случаям: \(25 + 10 + 1 = 36\). Значит, \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \dfrac{25}{36} & \dfrac{10}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
Величина \(Y\) принимает значение 2, когда первый бросок дал двойку, а второй мог быть любым, — это 6 пар из 36, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 2) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
Возьмём пару значений \(x = 2\) и \(y = 2\). Если первый бросок дал двойку, то единица могла выпасть только во втором броске, и тогда единиц не больше одной. Значит, событие «\(X = 2\) и \(Y = 2\)» невозможно и \(\mathrm{P}(X = 2,\ Y = 2) = 0\), тогда как \[\mathrm{P}(X = 2) \cdot \mathrm{P}(Y = 2) = \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{216} \neq 0.\]
Равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) нарушено для этой пары значений, поэтому величины независимыми не являются.
Ответ: нет, количество выпавших единиц и число очков первого броска не являются независимыми случайными величинами.
