Страница 160 номер 343, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Совместное распределение случайных величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей 27:

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 5 & 7 & 10 \st \\ \hline -4 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \st \\ \hline \end{array}\]

Возможных пар значений всего шесть, поэтому в каждом пункте удобно пройти по клеткам таблицы, вычислить в каждой значение нужного выражения и сложить вероятности подходящих клеток.

а) Значения \(|X - Y|\) по клеткам: у пары \((-4;\ 5)\) это \(|-4 - 5| = 9\), у пары \((-4;\ 7)\) — \(11\), у пары \((-4;\ 10)\) — \(14\), у пары \((5;\ 5)\) — \(0\), у пары \((5;\ 7)\) — \(2\), у пары \((5;\ 10)\) — \(5\).

Неравенству \(|X - Y| < 3\) отвечают только пары \((5;\ 5)\) и \((5;\ 7)\):

\[\mathrm{P}(|X - Y| < 3) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\]

б) Значения суммы \(X + Y\) по тем же клеткам: у пары \((-4;\ 5)\) это \(1\), у пары \((-4;\ 7)\) — \(3\), у пары \((-4;\ 10)\) — \(6\), у пары \((5;\ 5)\) — \(10\), у пары \((5;\ 7)\) — \(12\), у пары \((5;\ 10)\) — \(15\).

Неравенству \(X + Y > 5\) не отвечают только две первые пары; остальные четыре подходят, в том числе пара \((-4;\ 10)\), дающая ровно 6. Значит,

\[\mathrm{P}(X + Y > 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}.\]

Ответ: а) \(\mathrm{P}(|X - Y| < 3) = \dfrac{1}{3}\); б) \(\mathrm{P}(X + Y > 5) = \dfrac{5}{6}\).