Страница 164 номер 360, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VII. Математическое ожидание. §33. Независимые случайные величины. Страница 164. Номер 360

Решение:

Испытания проводят одно за другим и прекращают после первого успеха; \(I_k = 1\), если испытание с номером \(k\) состоялось, и \(I_k = 0\), если серия закончилась раньше. Вероятность успеха в одном испытании \(p\), неудачи — \(q = 1 - p\), оба исхода возможны: \(0 < p < 1\) и \(0 < q < 1\).

Испытание с номером \(k\) состоится только тогда, когда все предыдущие \(k - 1\) испытаний окончились неудачей, а испытания не влияют друг на друга, поэтому \(\mathrm{P}(I_k = 1) = q^{\,k-1}\).

а) Пусть \(k < m\). Если испытание с номером \(m\) состоялось, то состоялись и все испытания с меньшими номерами, в том числе с номером \(k\), поэтому события «\(I_k = 0\)» и «\(I_m = 1\)» вместе произойти не могут: \(\mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 1) = 0\).

Возьмём \(k = 8\) и \(m = 10\). Обе маргинальные вероятности положительны: \(\mathrm{P}(I_{10} = 1) = q^{\,9} > 0\) и \(\mathrm{P}(I_8 = 0) = 1 - q^{\,7} > 0\), поскольку \(q < 1\), поэтому \[\mathrm{P}(I_8 = 0) \cdot \mathrm{P}(I_{10} = 1) = (1 - q^{\,7}) \cdot q^{\,9} > 0.\]

Признак нарушен для пары значений \(I_8 = 0\), \(I_{10} = 1\), поэтому независимости величин \(I_k\) и \(I_m\) при \(k \neq m\) утверждать нельзя.

б) Равенство \(I_{10} = 1\) значит, что испытание с номером 10 состоялось. Но до него серия прошла все девять предыдущих испытаний, иначе она остановилась бы раньше. Значит, восьмое испытание тоже состоялось: \(I_8 = 1\).

в) Равенство \(I_{11} = 0\) значит, что испытание с номером 11 не состоялось, то есть успех случился в одном из первых десяти испытаний и серия закончилась. Тогда не состоится и следующее: \(I_{12} = 0\).

Ответ: а) нет, независимыми они не являются — например, \(\mathrm{P}(I_8 = 0,\ I_{10} = 1) = 0\), тогда как \(\mathrm{P}(I_8 = 0) \cdot \mathrm{P}(I_{10} = 1) > 0\); б) \(I_8 = 1\); в) \(I_{12} = 0\).

Решение:

В серии испытаний до первого успеха испытания проводят одно за другим и прекращают, как только случился успех. Вероятность успеха в одном испытании обозначим \(p\), вероятность неудачи — \(q = 1 - p\); оба исхода возможны, поэтому \(0 < p < 1\), а значит, и \(0 < q < 1\).

Величина \(I_k\) бинарная: она равна 1, если испытание с номером \(k\) состоялось, и 0, если серия закончилась раньше и до него дело не дошло.

Испытание с номером \(k\) состоится только тогда, когда все предыдущие \(k - 1\) испытаний окончились неудачей, а испытания не влияют друг на друга. Поэтому \(\mathrm{P}(I_k = 1) = q^{\,k-1}\); в частности, первое испытание проводится всегда.

а) Пусть \(k < m\). Если испытание с номером \(m\) состоялось, то состоялись и все испытания с меньшими номерами, в том числе испытание с номером \(k\). Значит, события «\(I_k = 0\)» и «\(I_m = 1\)» вместе произойти не могут, то есть \(\mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 1) = 0\).

Возьмём, например, \(k = 8\) и \(m = 10\). Тогда \(\mathrm{P}(I_8 = 0,\ I_{10} = 1) = 0\), а обе маргинальные вероятности положительны: \(\mathrm{P}(I_{10} = 1) = q^{\,9} > 0\) и \(\mathrm{P}(I_8 = 0) = 1 - q^{\,7} > 0\), поскольку \(q < 1\). Поэтому их произведение нулю не равно: \[\mathrm{P}(I_8 = 0) \cdot \mathrm{P}(I_{10} = 1) = (1 - q^{\,7}) \cdot q^{\,9} > 0.\]

Равенство \(\mathrm{P}(I_k = i,\ I_m = j) = \mathrm{P}(I_k = i) \cdot \mathrm{P}(I_m = j)\) нарушено для пары значений \(I_8 = 0\), \(I_{10} = 1\), поэтому величины \(I_8\) и \(I_{10}\) независимыми не являются, а значит, независимости величин \(I_k\) и \(I_m\) при \(k \neq m\) утверждать нельзя.

б) Равенство \(I_{10} = 1\) значит, что испытание с номером 10 состоялось. Но до него серия должна была пройти все девять предыдущих испытаний, иначе она остановилась бы раньше. Значит, восьмое испытание тоже состоялось и \(I_8 = 1\).

в) Равенство \(I_{11} = 0\) значит, что испытание с номером 11 не состоялось, то есть успех случился в одном из первых десяти испытаний и серия на этом закончилась. Тогда не состоится и следующее испытание: \(I_{12} = 0\).