Страница 169 номер 364, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Совместное распределение случайных величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 1 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ \hline 2 & 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}\]

Чтобы найти ожидание каждой величины, восстановим её распределение по таблице. Суммы по строкам дают вероятности значений \(X\): \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}6\) и \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4\).

Суммы по столбцам дают вероятности значений \(Y\): \(\mathrm{P}(Y = 0) = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4\), \(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3\), \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\). Значит, \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]

Отсюда \(\mathrm{E}X = 1 \cdot 0{,}6 + 2 \cdot 0{,}4 = 1{,}4\) и \(\mathrm{E}Y = 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}3 = 0{,}9\).

Математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых — независимость величин для этого не нужна, и проверять её не надо. Постоянный множитель выносится за знак ожидания, а постоянное слагаемое к нему прибавляется.

а) \(\mathrm{E}(X + Y) = \mathrm{E}X + \mathrm{E}Y = 1{,}4 + 0{,}9 = 2{,}3\).

б) Разность \(X - Y\) — это сумма \(X + (-Y)\), а \(\mathrm{E}(-Y) = -\mathrm{E}Y\). Поэтому \(\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y = 1{,}4 - 0{,}9 = 0{,}5\).

в) Величина \(2X - 3Y + 1\) — это сумма \(2X\) и \(-3Y\), к которой прибавлено постоянное слагаемое 1: \[\mathrm{E}(2X - 3Y + 1) = 2\mathrm{E}X - 3\mathrm{E}Y + 1 = 2 \cdot 1{,}4 - 3 \cdot 0{,}9 + 1 = 2{,}8 - 2{,}7 + 1 = 1{,}1.\]

Ответ: а) \(\mathrm{E}(X + Y) = 2{,}3\); б) \(\mathrm{E}(X - Y) = 0{,}5\); в) \(\mathrm{E}(2X - 3Y + 1) = 1{,}1\).