Страница 163 номер 351, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают дважды. Независимы ли случайные величины \(X\) «наибольшее выпавшее число очков» и \(Y\) «наименьшее выпавшее число очков»?
Кубик правильный, все шесть граней равновозможны, поэтому равновозможны и все \(6 \cdot 6 = 36\) пар «число очков первого броска; число очков второго броска».
\(X\) — наибольшее выпавшее число очков, \(Y\) — наименьшее; наименьшее из двух чисел не превосходит наибольшего, поэтому \(Y \leqslant X\).
Пара \(x = 1\), \(y = 6\) невозможна: наибольшее число очков не может равняться 1 при наименьшем 6, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 6) = 0\).
\(X = 1\) только тогда, когда оба броска дали единицу, — одна пара из 36, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{36}\).
\(Y = 6\) только тогда, когда оба броска дали шестёрку, — тоже одна пара, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 6) = \dfrac{1}{36}\).
\[\mathrm{P}(X = 1) \cdot \mathrm{P}(Y = 6) = \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{1296} \neq 0.\]
Равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) нарушено, а одной такой пары достаточно: величины независимыми не являются.
Ответ: нет, наибольшее и наименьшее выпавшие числа очков не являются независимыми случайными величинами.
Игральный кубик бросают дважды. Независимы ли случайные величины \(X\) «наибольшее выпавшее число очков» и \(Y\) «наименьшее выпавшее число очков»?
Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а при двух бросках равновозможны все \(6 \cdot 6 = 36\) пар «число очков первого броска; число очков второго броска».
Случайная величина \(X\) — «наибольшее выпавшее число очков», случайная величина \(Y\) — «наименьшее выпавшее число очков». Наименьшее из двух чисел не превосходит наибольшего, поэтому при любом исходе \(Y \leqslant X\).
Возьмём пару значений \(x = 1\) и \(y = 6\). Событие «\(X = 1\) и \(Y = 6\)» означало бы, что наибольшее из выпавших чисел равно 1, а наименьшее равно 6; это невозможно, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 6) = 0\).
Обе маргинальные вероятности при этом отличны от нуля. Наибольшее число очков равно 1 только тогда, когда оба броска дали единицу, — это одна пара из 36, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{36}\). Наименьшее число очков равно 6 только тогда, когда оба броска дали шестёрку, — тоже одна пара, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 6) = \dfrac{1}{36}\). Значит, произведение маргинальных вероятностей нулю не равно, в отличие от совместной вероятности: \[\mathrm{P}(X = 1) \cdot \mathrm{P}(Y = 6) = \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{1296} \neq 0.\]
Равенство \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\) нарушено для пары значений \(x = 1\), \(y = 6\), а этого достаточно: величины независимыми не являются.
Ответ: нет, наибольшее и наименьшее выпавшие числа очков не являются независимыми случайными величинами.
