Страница 170 номер 371, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Приведите пример двух случайных величин, которые не являются независимыми, однако произведение их ожиданий равно ожиданию произведения.
Из трёх карточек с числами \(-1\), 0 и 1 наудачу берут одну, \(X\) — «число на взятой карточке»; все три карточки равновозможны: \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]
Вторую величину зададим равенством \(Y = X^2\). Она равна 0 при карточке 0 и равна 1 при карточках \(-1\) и 1, поэтому \(\mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3}\) и \(\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\): \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.\]
\(\mathrm{E}X = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\).
\(\mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\), поэтому \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{2}{3} = 0\).
Произведение \(XY\) равно \(-1\), 0 и 1 при карточках \(-1\), 0 и 1 соответственно: \[XY \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]
\(\mathrm{E}(XY) = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\), то есть ожидание произведения равно произведению ожиданий: \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\).
Но величины \(X\) и \(Y\) не являются независимыми: событие «\(X = 0\)» означает, что взята карточка с нулём, и тогда обязательно \(Y = 0\), поэтому \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = \frac{1}{3}\), тогда как \(\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). Равенство, обязательное для независимых величин, нарушилось на этой паре значений, а этого достаточно для зависимости.
Ответ: пример — величина \(X\) со значениями \(-1\), 0, 1, каждое из которых имеет вероятность \(\frac{1}{3}\), и величина \(Y = X^2\): они зависимы, но \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\).
Приведите пример двух случайных величин, которые не являются независимыми, однако произведение их ожиданий равно ожиданию произведения.
Из трёх карточек с числами \(-1\), 0 и 1 наудачу берут одну. Случайная величина \(X\) — «число на взятой карточке». Карточку берут наудачу, все три карточки равновозможны, поэтому \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]
Вторую величину зададим равенством \(Y = X^2\). Она равна 0, если на взятой карточке нуль, и равна 1, если на карточке \(-1\) или 1. Поэтому \(\mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3}\) и \(\mathrm{P}(Y = 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\): \[Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.\]
Математические ожидания находим по определению: \(\mathrm{E}X = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\) и \(\mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\). Значит, произведение ожиданий равно \(\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0 \cdot \frac{2}{3} = 0\).
Произведение \(XY\) равно \(-1\) при карточке \(-1\), равно 0 при карточке 0 и равно 1 при карточке 1: \[XY \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\]
Отсюда \(\mathrm{E}(XY) = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = 0\), то есть ожидание произведения равно произведению ожиданий: \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\).
Но величины \(X\) и \(Y\) не являются независимыми. У независимых величин вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей этих значений по отдельности. Возьмём пару значений 0 и 0: событие «\(X = 0\)» означает, что взята карточка с нулём, и тогда обязательно \(Y = 0\). Поэтому \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = \frac{1}{3}\), тогда как \(\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). Равенство на этой паре значений нарушилось, а этого достаточно, чтобы величины были зависимы.
Ответ: пример — величина \(X\) со значениями \(-1\), 0, 1, каждое из которых имеет вероятность \(\frac{1}{3}\), и величина \(Y = X^2\): они зависимы, но \(\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\).
