Страница 160 номер 344, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) — число орлов, выпавших при первом броске, \(Y\) — число бросков до момента, когда одна из сторон выпадет во второй раз.
Монета симметричная, броски не влияют друг на друга, поэтому все \(2^3 = 8\) последовательностей трёх бросков равновозможны, вероятность каждой равна \(\dfrac{1}{8}\).
\(X = 1\), если при первом броске выпал орёл, и \(X = 0\), если выпала решка.
Значение \(Y\) определяют первые два броска: одна и та же сторона в них даёт \(Y = 2\), разные стороны — \(Y = 3\) (третий бросок повторит одну из них); сам третий бросок ни на \(X\), ни на \(Y\) не влияет.
Каждой паре значений отвечают два исхода из восьми (О — орёл, Р — решка): \(X = 0\), \(Y = 2\) — РРО и РРР; \(X = 0\), \(Y = 3\) — РОО и РОР; \(X = 1\), \(Y = 2\) — ООО и ООР; \(X = 1\), \(Y = 3\) — ОРО и ОРР.
Исходы равновозможны, поэтому вероятность каждой пары значений равна \(\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\): \[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: сумма всех вероятностей таблицы равна \(4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1\).
Ответ: все четыре пары значений равновероятны, совместное распределение задаётся таблицей \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\).
Симметричную монету бросают трижды. Случайная величина \(X\) равна числу орлов, выпавших при первом броске, а \(Y\) — числу бросков до момента, когда одна из сторон выпадет во второй раз.
Монета симметричная, а броски не влияют друг на друга, поэтому все \(2^3 = 8\) последовательностей трёх бросков равновозможны и вероятность каждой из них равна \(\dfrac{1}{8}\).
Величина \(X\) принимает два значения: \(X = 1\), если при первом броске выпал орёл, и \(X = 0\), если при первом броске выпала решка.
Значение \(Y\) определяют первые два броска. Если они дали одну и ту же сторону, то эта сторона выпала во второй раз уже при втором броске, и тогда \(Y = 2\). Если первые два броска дали разные стороны, то третий бросок повторит одну из них, и тогда одна из сторон выпадет во второй раз при третьем броске: \(Y = 3\). Значит, \(Y\) принимает значения 2 и 3, а сам третий бросок ни на \(X\), ни на \(Y\) не влияет.
Каждой паре значений отвечают два исхода из восьми (О — орёл, Р — решка): паре \(X = 0\), \(Y = 2\) — исходы РРО и РРР; паре \(X = 0\), \(Y = 3\) — исходы РОО и РОР; паре \(X = 1\), \(Y = 2\) — исходы ООО и ООР; паре \(X = 1\), \(Y = 3\) — исходы ОРО и ОРР.
Все восемь исходов равновозможны, поэтому вероятность каждой пары значений равна \(\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\), и таблица совместного распределения такова:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\]
Проверка: сумма всех вероятностей таблицы равна \(4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1\).
Ответ: все четыре пары значений равновероятны, совместное распределение задаётся таблицей \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 2 & 3 \st \\ \hline 0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline 1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \st \\ \hline \end{array}\).
