Страница 161 номер 348, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Совместное распределение величин \(X\) и \(Y\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline 1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}15 \\ \hline 2 & 0{,}1 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}\]
Одно значение дают несколько клеток, а клетки несовместны, поэтому их вероятности складываются.
а) Сумма \(X + Y\) принимает значения от 0 до 4.
Значение 0 — клетка \((0;\ 0)\): \(0{,}05\).
Значение 1 — клетки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 0)\): \(0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25\).
Значение 2 — клетки \((0;\ 2)\), \((1;\ 1)\) и \((2;\ 0)\): \(0{,}05 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}35\).
Значение 3 — клетки \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\): \(0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}3\).
Значение 4 — клетка \((2;\ 2)\): \(0{,}05\). \[X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}35 & 0{,}3 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}05 + 0{,}25 + 0{,}35 + 0{,}3 + 0{,}05 = 1\).
б) Разность \(X - Y\) принимает значения от \(-2\) до 2.
Значение \(-2\) — клетка \((0;\ 2)\): \(0{,}05\).
Значение \(-1\) — клетки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 2)\): \(0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}3\).
Значение 0 — три клетки главной диагонали \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\) и \((2;\ 2)\): \(0{,}05 + 0{,}2 + 0{,}05 = 0{,}3\).
Значение 1 — клетки \((1;\ 0)\) и \((2;\ 1)\): \(0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25\).
Значение 2 — клетка \((2;\ 0)\): \(0{,}1\). \[X - Y \sim \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0{,}05 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}25 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}05 + 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}25 + 0{,}1 = 1\).
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}35 & 0{,}3 & 0{,}05 \end{pmatrix}\); б) \(X - Y \sim \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0{,}05 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}25 & 0{,}1 \end{pmatrix}\).
Совместное распределение случайных величин \(X\) и \(Y\) задано таблицей 31:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0{,}05 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline 1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}15 \\ \hline 2 & 0{,}1 & 0{,}15 & 0{,}05 \\ \hline \end{array}\]
Каждая клетка таблицы даёт свою пару значений \((x;\ y)\), а значит, и своё значение нового выражения. Одно и то же значение получается в нескольких клетках, и эти клетки отвечают несовместным событиям, поэтому вероятность значения равна сумме вероятностей всех дающих его клеток.
а) Сумма \(X + Y\) принимает значения от 0 до 4.
Значение 0 даёт одна клетка \((0;\ 0)\): вероятность \(0{,}05\).
Значение 1 дают клетки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 0)\): \(0{,}15 + 0{,}1 = 0{,}25\).
Значение 2 дают клетки \((0;\ 2)\), \((1;\ 1)\) и \((2;\ 0)\): \(0{,}05 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}35\).
Значение 3 дают клетки \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\): \(0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}3\).
Значение 4 даёт одна клетка \((2;\ 2)\): вероятность \(0{,}05\). Значит,
\[X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}35 & 0{,}3 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}05 + 0{,}25 + 0{,}35 + 0{,}3 + 0{,}05 = 1\) — сумма вероятностей всех значений равна 1.
б) Разность \(X - Y\) принимает значения от \(-2\) до 2.
Значение \(-2\) даёт одна клетка \((0;\ 2)\): вероятность \(0{,}05\).
Значение \(-1\) дают клетки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 2)\): \(0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}3\).
Значение 0 дают три клетки главной диагонали — \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\) и \((2;\ 2)\): \(0{,}05 + 0{,}2 + 0{,}05 = 0{,}3\).
Значение 1 дают клетки \((1;\ 0)\) и \((2;\ 1)\): \(0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}25\).
Значение 2 даёт одна клетка \((2;\ 0)\): вероятность \(0{,}1\). Значит,
\[X - Y \sim \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0{,}05 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}25 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}05 + 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}25 + 0{,}1 = 1\) — сумма вероятностей всех значений равна 1.
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}35 & 0{,}3 & 0{,}05 \end{pmatrix}\); б) \(X - Y \sim \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 0{,}05 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}25 & 0{,}1 \end{pmatrix}\).
