Страница 169 номер 363, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Случайные величины \(X\) и \(Y\) имеют распределения \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 0{,}4 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} -4 & -2 & 0 & 4 \\ 0{,}15 & 0{,}25 & 0{,}45 & 0{,}15 \end{pmatrix}.\]

Математическое ожидание каждой величины найдём по определению — как сумму произведений значений на их вероятности: \[\mathrm{E}X = (-1) \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}4 = -0{,}4 + 0{,}4 + 2 = 2,\] \[\mathrm{E}Y = (-4) \cdot 0{,}15 + (-2) \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}45 + 4 \cdot 0{,}15 = -0{,}6 - 0{,}5 + 0 + 0{,}6 = -0{,}5.\]

Дальше во всех пунктах работают два правила: математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых (независимость величин для этого не нужна), а при линейной зависимости \(Z = aX + b\) с постоянными \(a\) и \(b\) верно \(\mathrm{E}Z = a\mathrm{E}X + b\).

а) \(\mathrm{E}(Y + 4{,}5) = \mathrm{E}Y + 4{,}5 = -0{,}5 + 4{,}5 = 4\).

б) Разность \(X - Y\) — это сумма \(X + (-Y)\), а \(\mathrm{E}(-Y) = -\mathrm{E}Y\). Поэтому \(\mathrm{E}(X - Y) = \mathrm{E}X - \mathrm{E}Y = 2 - (-0{,}5) = 2{,}5\).

в) \(\mathrm{E}(2X + 4Y) = 2\mathrm{E}X + 4\mathrm{E}Y = 2 \cdot 2 + 4 \cdot (-0{,}5) = 4 - 2 = 2\).

г) \(\mathrm{E}(0{,}25X - 3Y) = 0{,}25\mathrm{E}X - 3\mathrm{E}Y = 0{,}25 \cdot 2 - 3 \cdot (-0{,}5) = 0{,}5 + 1{,}5 = 2\).

Ответ: а) \(\mathrm{E}(Y + 4{,}5) = 4\); б) \(\mathrm{E}(X - Y) = 2{,}5\); в) \(\mathrm{E}(2X + 4Y) = 2\); г) \(\mathrm{E}(0{,}25X - 3Y) = 2\).