Страница 164 номер 355, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}.\]
Величины независимы, поэтому вероятность каждой из четырёх пар равна произведению:
\(\mathrm{P}(X = -1,\ Y = 0) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(X = -1,\ Y = 4) = 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}3\),
\(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 0) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 4) = 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}3\).
а) Значения суммы: \(-1 + 0 = -1\), \(-1 + 4 = 3\), \(1 + 0 = 1\), \(1 + 4 = 5\) — все разные, каждое получает вероятность своей пары: \[X + Y \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}3 = 1\).
б) Значения произведения: \((-1) \cdot 0 = 0\), \((-1) \cdot 4 = -4\), \(1 \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 4 = 4\). Нуль даётся двумя парами, их вероятности складываются: \(\mathrm{P}(XY = 0) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\), а \(\mathrm{P}(XY = -4) = 0{,}3\) и \(\mathrm{P}(XY = 4) = 0{,}3\). Значит, \[XY \sim \begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1\).
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}\); б) \(XY \sim \begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}\).
Даны распределения двух независимых случайных величин: \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}, \quad Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}.\]
Величины независимы, поэтому вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей: \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \mathrm{P}(X = x) \cdot \mathrm{P}(Y = y)\). Пар всего четыре:
\(\mathrm{P}(X = -1,\ Y = 0) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(X = -1,\ Y = 4) = 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}3\),
\(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 0) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), \(\mathrm{P}(X = 1,\ Y = 4) = 0{,}5 \cdot 0{,}6 = 0{,}3\).
а) Значения суммы \(X + Y\) по этим четырём парам равны \(-1 + 0 = -1\), \(-1 + 4 = 3\), \(1 + 0 = 1\), \(1 + 4 = 5\). Все четыре числа разные, поэтому каждое значение получает вероятность своей пары: \[X + Y \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}3 = 1\).
б) Значения произведения \(XY\) по тем же парам равны \((-1) \cdot 0 = 0\), \((-1) \cdot 4 = -4\), \(1 \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 4 = 4\). Значение 0 получается из двух пар, и вероятности этих пар складываются: \(\mathrm{P}(XY = 0) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\). Значения \(-4\) и 4 встречаются по одному разу, поэтому \(\mathrm{P}(XY = -4) = 0{,}3\) и \(\mathrm{P}(XY = 4) = 0{,}3\). Значит, \[XY \sim \begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1\).
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}\); б) \(XY \sim \begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}\).
