Страница 169 номер 362, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Известно, что \(\mathrm{E}X = -2\) и \(\mathrm{E}Y = 5\).

Пользуемся двумя правилами. При линейной зависимости \(Z = aX + b\) с постоянными \(a\) и \(b\) верно \(\mathrm{E}Z = a\mathrm{E}X + b\): постоянный множитель выносится за знак ожидания, а постоянное слагаемое к нему прибавляется. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, и это правило независимости величин не требует — знать, как связаны \(X\) и \(Y\), здесь не нужно.

а) \(\mathrm{E}(X + 4) = \mathrm{E}X + 4 = -2 + 4 = 2\).

б) \(\mathrm{E}(1{,}5Y - 0{,}5) = 1{,}5\mathrm{E}Y - 0{,}5 = 1{,}5 \cdot 5 - 0{,}5 = 7{,}5 - 0{,}5 = 7\).

в) Разность \(Y - X\) — это сумма \(Y + (-X)\), а \(\mathrm{E}(-X) = -\mathrm{E}X\). Поэтому \(\mathrm{E}(Y - X) = \mathrm{E}Y - \mathrm{E}X = 5 - (-2) = 7\).

г) Ожидание суммы \(0{,}5X + 2Y\) равно сумме ожиданий слагаемых, а в каждом слагаемом множитель выносится за знак ожидания: \[\mathrm{E}(0{,}5X + 2Y) = 0{,}5\mathrm{E}X + 2\mathrm{E}Y = 0{,}5 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 = -1 + 10 = 9.\]

Ответ: а) \(\mathrm{E}(X + 4) = 2\); б) \(\mathrm{E}(1{,}5Y - 0{,}5) = 7\); в) \(\mathrm{E}(Y - X) = 7\); г) \(\mathrm{E}(0{,}5X + 2Y) = 9\).