Страница 164 номер 352, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Симметричную монету бросают 3 раза. Пусть \(X\) — число выпавших орлов, а \(Y\) — число решек. Независимы ли эти случайные величины?
Монета симметричная, броски не влияют друг на друга, поэтому все \(2^3 = 8\) последовательностей исходов трёх бросков равновозможны и каждая имеет вероятность \(\dfrac{1}{8}\).
\(X\) — число выпавших орлов, \(Y\) — число выпавших решек; каждый из трёх бросков даёт либо орла, либо решку, поэтому \(X + Y = 3\), то есть \(Y = 3 - X\).
Пара \(x = 0\), \(y = 0\) невозможна: если орлов нет, то все три броска дали решку и \(Y = 3\). Значит, \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = 0\).
\(X = 0\) даёт единственный исход «решка, решка, решка», \(Y = 0\) — единственный исход «орёл, орёл, орёл», поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = \mathrm{P}(Y = 0) = \dfrac{1}{8}\) и \[\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{64} \neq 0.\]
Признак независимости нарушен, поэтому величины \(X\) и \(Y\) независимыми не являются.
Ответ: нет, число выпавших орлов и число выпавших решек не являются независимыми случайными величинами.
Симметричную монету бросают 3 раза. Пусть \(X\) — число выпавших орлов, а \(Y\) — число решек. Независимы ли эти случайные величины?
Монета симметричная и броски не влияют друг на друга, поэтому все \(2^3 = 8\) последовательностей исходов трёх бросков равновозможны и каждая имеет вероятность \(\dfrac{1}{8}\).
Случайная величина \(X\) — число выпавших орлов, случайная величина \(Y\) — число выпавших решек. Бросков всего три, и каждый даёт либо орла, либо решку, поэтому при любом исходе \(X + Y = 3\), то есть \(Y = 3 - X\).
Возьмём пару значений \(x = 0\) и \(y = 0\). Если орлов не выпало ни разу, то все три броска дали решку, то есть \(Y = 3\), а не 0. Значит, событие «\(X = 0\) и \(Y = 0\)» невозможно и \(\mathrm{P}(X = 0,\ Y = 0) = 0\).
Сами же значения 0 обе величины принимают с ненулевой вероятностью: \(X = 0\) даёт единственный исход «решка, решка, решка», а \(Y = 0\) — единственный исход «орёл, орёл, орёл», поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = \mathrm{P}(Y = 0) = \dfrac{1}{8}\), и произведение маргинальных вероятностей нулю не равно: \[\mathrm{P}(X = 0) \cdot \mathrm{P}(Y = 0) = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{64} \neq 0.\]
Равенство признака независимости нарушено, поэтому величины \(X\) и \(Y\) независимыми не являются. Это и естественно: зная число орлов, мы сразу знаем число решек.
Ответ: нет, число выпавших орлов и число выпавших решек не являются независимыми случайными величинами.
