Страница 170 номер 368, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) и \(Y\) — числа очков при двух бросках игральной кости. Кость правильная, все шесть граней равновозможны, поэтому у каждой из величин распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
\(\mathrm{E}X = \mathrm{E}Y = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5\).
Площадь прямоугольника со сторонами \(X\) и \(Y\) равна произведению \(XY\); броски независимы по условию, поэтому ожидание произведения равно произведению ожиданий: \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25.\]
Площадь квадрата со стороной \(X\) равна \(X^2\), и здесь то же правило неприменимо: величина \(X\) не является независимой сама с собой — её значение полностью определяет второй множитель. Перемножив ожидания, мы получили бы \((\mathrm{E}X)^2 = 12{,}25\), но для зависимых множителей такое равенство выполняться не обязано. Величина \(X^2\) принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\): \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
\[\mathrm{E}(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}.\]
Сравниваем точно: \(12{,}25 = \frac{49}{4} = \frac{147}{12}\), а \(\frac{91}{6} = \frac{182}{12}\); так как \(182 > 147\), ожидание площади квадрата больше.
Ответ: больше математическое ожидание площади квадрата: \(\mathrm{E}(X^2) = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}\), а \(\mathrm{E}(XY) = 12{,}25\), то есть \(\mathrm{E}(X^2) > \mathrm{E}(XY)\).
Случайные величины \(X\) и \(Y\) — числа очков при двух бросках игральной кости. Кость считаем правильной: все шесть граней равновозможны. Поэтому величина \(X\) имеет распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Такое же распределение у величины \(Y\). Отсюда \(\mathrm{E}X = \mathrm{E}Y = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5\).
Площадь прямоугольника со сторонами \(X\) и \(Y\) равна произведению \(XY\). Броски независимы по условию, поэтому ожидание произведения равно произведению ожиданий: \[\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25.\]
Площадь квадрата со стороной \(X\) равна \(X^2\). Здесь то же правило неприменимо: величина \(X\) не является независимой сама с собой — её значение полностью определяет второй множитель. Перемножив ожидания, мы получили бы \((\mathrm{E}X)^2 = 12{,}25\), но для зависимых множителей такое равенство не обязано выполняться. Поэтому ожидание \(\mathrm{E}(X^2)\) находим по определению, выписав распределение величины \(X^2\). Она принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36, каждое с вероятностью \(\frac{1}{6}\): \[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Складываем произведения значений на вероятности: \[\mathrm{E}(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}.\]
Сравним оба ожидания точно: \(12{,}25 = \frac{49}{4} = \frac{147}{12}\), а дробь \(\frac{91}{6}\) равна \(\frac{182}{12}\). Так как \(182 > 147\), ожидание площади квадрата больше.
Ответ: больше математическое ожидание площади квадрата: \(\mathrm{E}(X^2) = \frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}\), а \(\mathrm{E}(XY) = 12{,}25\), то есть \(\mathrm{E}(X^2) > \mathrm{E}(XY)\).
