Страница 164 номер 356, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) принимает значения \(-1\); 0; 1 с равными вероятностями: \(\mathrm{P}(X = x) = \dfrac{1}{3}\); \(Y\) принимает значения 1; 2 с равными вероятностями: \(\mathrm{P}(Y = y) = \dfrac{1}{2}\).
Величины независимы, поэтому все \(3 \cdot 2 = 6\) пар равновероятны, вероятность каждой \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\): \[(-1;\ 1), \quad (-1;\ 2), \quad (0;\ 1), \quad (0;\ 2), \quad (1;\ 1), \quad (1;\ 2).\]
а) Значения суммы: \(0\); \(1\); \(1\); \(2\); \(2\); \(3\); значения 1 и 2 получились дважды, их вероятности складываются: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\). Значит, \[X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1\).
б) Значения \(X - 2Y\): \(-1 - 2 = -3\); \(-1 - 4 = -5\); \(0 - 2 = -2\); \(0 - 4 = -4\); \(1 - 2 = -1\); \(1 - 4 = -3\). Дважды получилось только \(-3\) — его вероятность \(\dfrac{1}{3}\), у остальных значений \(\dfrac{1}{6}\). Значит, \[X - 2Y \sim \begin{pmatrix} -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\).
в) Значения \(\dfrac{X}{Y}\): \(\dfrac{-1}{1} = -1\); \(\dfrac{-1}{2} = -0{,}5\); \(\dfrac{0}{1} = 0\); \(\dfrac{0}{2} = 0\); \(\dfrac{1}{1} = 1\); \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Дважды получился 0 — его вероятность \(\dfrac{1}{3}\), у остальных значений \(\dfrac{1}{6}\). Значит, \[\dfrac{X}{Y} \sim \begin{pmatrix} -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\).
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\); б) \(X - 2Y \sim \begin{pmatrix} -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\); в) \(\dfrac{X}{Y} \sim \begin{pmatrix} -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\).
Величина \(X\) принимает три значения \(-1\); 0; 1 с равными вероятностями, поэтому \(\mathrm{P}(X = x) = \dfrac{1}{3}\) для каждого из них. Величина \(Y\) принимает два значения 1; 2 с равными вероятностями, поэтому \(\mathrm{P}(Y = y) = \dfrac{1}{2}\).
Величины независимы, поэтому вероятность каждой пары значений равна произведению: \(\mathrm{P}(X = x,\ Y = y) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\). Пар всего \(3 \cdot 2 = 6\), и все они равновероятны: \[(-1;\ 1), \quad (-1;\ 2), \quad (0;\ 1), \quad (0;\ 2), \quad (1;\ 1), \quad (1;\ 2).\]
а) Значения суммы \(X + Y\) по этим парам: \(0\); \(1\); \(1\); \(2\); \(2\); \(3\). Значения 1 и 2 получаются по два раза, и вероятности складываются: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\). Значит, \[X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1\).
б) Значения величины \(X - 2Y\) по тем же парам: \(-1 - 2 = -3\); \(-1 - 4 = -5\); \(0 - 2 = -2\); \(0 - 4 = -4\); \(1 - 2 = -1\); \(1 - 4 = -3\). Дважды получилось только значение \(-3\), его вероятность равна \(\dfrac{1}{3}\), остальные значения встретились по одному разу. Значит, \[X - 2Y \sim \begin{pmatrix} -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\).
в) Значения частного \(\dfrac{X}{Y}\) по тем же парам: \(\dfrac{-1}{1} = -1\); \(\dfrac{-1}{2} = -0{,}5\); \(\dfrac{0}{1} = 0\); \(\dfrac{0}{2} = 0\); \(\dfrac{1}{1} = 1\); \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Дважды получилось значение 0, его вероятность равна \(\dfrac{1}{3}\), остальные значения встретились по одному разу. Значит, \[\dfrac{X}{Y} \sim \begin{pmatrix} -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\).
Ответ: а) \(X + Y \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\); б) \(X - 2Y \sim \begin{pmatrix} -5 & -4 & -3 & -2 & -1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\); в) \(\dfrac{X}{Y} \sim \begin{pmatrix} -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\).
