Страница 164 номер 359, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Испытания Бернулли одинаковы и не влияют друг на друга: вероятность успеха в каждом \(p\), неудачи — \(q = 1 - p\).
Величина \(I_k\) бинарная: 1 при успехе в испытании с номером \(k\) и 0 при неудаче, поэтому \(I_k \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}\), и такое же распределение у \(I_m\). Отсюда маргинальные вероятности \(\mathrm{P}(I_k = 1) = \mathrm{P}(I_m = 1) = p\) и \(\mathrm{P}(I_k = 0) = \mathrm{P}(I_m = 0) = q\).
При \(k \neq m\) события «\(I_k = i\)» и «\(I_m = j\)» выражены через разные испытания серии, поэтому независимы: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 1) = p \cdot p = p^2, \quad \mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 0) = p \cdot q, \\ &\mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 1) = q \cdot p, \quad \mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 0) = q \cdot q = q^2. \end{aligned}\]
Все четыре клетки совпали с произведениями маргинальных вероятностей, а других пар значений у бинарных величин нет, значит, признак выполнен при всех возможных значениях и величины независимы.
Ответ: да, при \(k \neq m\) случайные величины \(I_k\) и \(I_m\) независимы.
В серии испытаний Бернулли испытания одинаковы и не влияют друг на друга: вероятность успеха в каждом одна и та же. Обозначим её \(p\), а вероятность неудачи — \(q = 1 - p\).
Величина \(I_k\) бинарная: она равна 1 при успехе в испытании с номером \(k\) и 0 при неудаче, поэтому \[I_k \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix},\] и точно такое же распределение у величины \(I_m\). Отсюда маргинальные вероятности: \(\mathrm{P}(I_k = 1) = \mathrm{P}(I_m = 1) = p\) и \(\mathrm{P}(I_k = 0) = \mathrm{P}(I_m = 0) = q\).
Пусть \(k \neq m\). Событие «\(I_k = i\)» говорит только об испытании с номером \(k\), событие «\(I_m = j\)» — только об испытании с номером \(m\), а события, выраженные через разные испытания серии, независимы. Поэтому вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 1) = p \cdot p = p^2, \quad \mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 0) = p \cdot q, \\ &\mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 1) = q \cdot p, \quad \mathrm{P}(I_k = 0,\ I_m = 0) = q \cdot q = q^2. \end{aligned}\]
В каждой из четырёх пар совместная вероятность оказалась равна произведению маргинальных, а других пар значений у бинарных величин нет. Значит, равенство \(\mathrm{P}(I_k = i,\ I_m = j) = \mathrm{P}(I_k = i) \cdot \mathrm{P}(I_m = j)\) выполнено при всех возможных значениях, и величины независимы.
Ответ: да, при \(k \neq m\) случайные величины \(I_k\) и \(I_m\) независимы.
