Страница 161 номер 349, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Игральный кубик бросили 3 раза, и в сумме выпало 16 очков. Случайная величина \(X\) — число, выпавшее при первом броске, \(Y\) — число, выпавшее при втором броске.

Кубик считаем правильным: все шесть граней равновозможны, а броски не влияют друг на друга. Тогда все \(6^3 = 216\) троек выпавших чисел равновозможны.

Условие «в сумме выпало 16 очков» оставляет из этих троек лишь те, сумма которых равна 16. Наибольшая возможная сумма равна \(6 + 6 + 6 = 18\), то есть недобор составляет всего \(18 - 16 = 2\) очка. Распределить его можно двумя способами: отнять 2 очка от одного броска либо по 1 очку от двух бросков. В первом случае выпали числа 4, 6 и 6, во втором — числа 5, 5 и 6; меньше 4 ни одно из чисел быть не может.

Тройку из чисел 4, 6, 6 можно получить тремя способами — четвёрку даёт первый, второй или третий бросок; столько же способов у тройки из чисел 5, 5, 6. Значит, сумму 16 дают ровно 6 исходов:

\[(4;\ 6;\ 6),\quad (6;\ 4;\ 6),\quad (6;\ 6;\ 4),\quad (5;\ 5;\ 6),\quad (5;\ 6;\ 5),\quad (6;\ 5;\ 5).\]

Все 216 троек были равновозможны, значит, равновозможны и эти шесть, и вероятность каждой из них равна \(\dfrac{1}{6}\).

а) Первые два числа каждого исхода — это и есть пара значений \((X;\ Y)\): \((4;\ 6)\), \((6;\ 4)\), \((6;\ 6)\), \((5;\ 5)\), \((5;\ 6)\), \((6;\ 5)\). Все шесть пар различны, поэтому вероятность каждой из них равна \(\dfrac{1}{6}\).

Обе величины принимают значения 4, 5 и 6, а три пары — \((4;\ 4)\), \((4;\ 5)\) и \((5;\ 4)\) — не встречаются ни в одном исходе, и их вероятность равна 0. Например, при \(X = 4\) и \(Y = 5\) третьему броску пришлось бы дать \(16 - 4 - 5 = 7\) очков, а на кубике таких граней нет. Таблица совместного распределения такова:

\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline 4 & 0 & 0 & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & 0 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 6 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline \end{array}\]

Проверка: ненулевых клеток шесть, поэтому сумма всех вероятностей таблицы равна \(6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1\).

б) Вероятность значения \(X\) равна сумме вероятностей его строки: \(\mathrm{P}(X = 4) = \dfrac{1}{6}\), \(\mathrm{P}(X = 5) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\), \(\mathrm{P}(X = 6) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Вероятность значения \(Y\) равна сумме вероятностей его столбца, а столбцы таблицы устроены так же, как строки: \(\mathrm{P}(Y = 4) = \dfrac{1}{6}\), \(\mathrm{P}(Y = 5) = \dfrac{1}{3}\), \(\mathrm{P}(Y = 6) = \dfrac{1}{2}\). Значит, распределения обеих величин одинаковы:

\[X \sim \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad Y \sim \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.\]

Сумма вероятностей каждого из них равна \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = 1\).

Ответ: а) шесть пар значений равновероятны, три пары невозможны — \(\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & 4 & 5 & 6 \st \\ \hline 4 & 0 & 0 & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 5 & 0 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline 6 & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \st \\ \hline \end{array}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\), \(Y \sim \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\).