Страница 164 номер 357, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(X\) и \(Y\) — два выбранных наудачу натуральных числа.
а) Натуральных чисел на отрезке от 1 до 9 ровно девять: 1; 2; \(\ldots\); 9. Выбор случайный, поэтому все они равновозможны: \(\mathrm{P}(X = a) = \dfrac{1}{9}\) при каждом \(a\), и то же для \(Y\).
Величины независимы, поэтому вероятность каждой пары значений равна \(\mathrm{P}(X = a,\ Y = b) = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{81}\), где \(a\) и \(b\) — любые числа ряда 1; 2; \(\ldots\); 9: пар всего \(9 \cdot 9 = 81\), и все они равновероятны.
Проверка: пар ровно 81, сумма их вероятностей равна \(81 \cdot \dfrac{1}{81} = 1\).
б) \(Z = \max(X,\ Y)\) — наибольшее из двух выбранных чисел, поэтому принимает те же значения 1; 2; \(\ldots\); 9.
Наибольшее из двух чисел не превосходит \(k\) ровно тогда, когда оба числа не превосходят \(k\): для \(X\) подходят \(k\) значений из девяти, столько же для \(Y\), поэтому среди 81 равновероятной пары таких пар \(k^2\) и \(\mathrm{P}(Z \leqslant k) = \dfrac{k^2}{81}\).
Событие «\(Z \leqslant k\)» состоит из несовместных событий «\(Z \leqslant k - 1\)» и «\(Z = k\)», значит, при \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\) \[\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{k^2}{81} - \dfrac{(k-1)^2}{81} = \dfrac{k^2 - (k^2 - 2k + 1)}{81} = \dfrac{2k - 1}{81}.\]
При \(k = 1\) вычитаемое равно нулю, и формула остаётся верной. Значит, \[Z \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \dfrac{1}{81} & \dfrac{3}{81} & \dfrac{5}{81} & \dfrac{7}{81} & \dfrac{9}{81} & \dfrac{11}{81} & \dfrac{13}{81} & \dfrac{15}{81} & \dfrac{17}{81} \end{pmatrix}.\]
Проверка: в числителях девять первых нечётных чисел, \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81\), поэтому сумма вероятностей равна \(\dfrac{81}{81} = 1\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = a,\ Y = b) = \dfrac{1}{81}\) при любых \(a\) и \(b\) из ряда 1; 2; \(\ldots\); 9 — все 81 пара значений равновероятна; б) \(\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{2k - 1}{81}\) при \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\).
Величины \(X\) и \(Y\) — это два выбранных наудачу натуральных числа: каждая из них равна числу, выпавшему при своём выборе.
а) Натуральных чисел на отрезке от 1 до 9 ровно девять: 1; 2; \(\ldots\); 9. Выбор случайный, поэтому все девять значений равновозможны и \(\mathrm{P}(X = a) = \dfrac{1}{9}\) при каждом \(a\); то же верно и для величины \(Y\).
Величины \(X\) и \(Y\) независимы, поэтому вероятность каждой пары значений равна произведению вероятностей: \[\mathrm{P}(X = a,\ Y = b) = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{81},\] где \(a\) и \(b\) — любые числа из ряда 1; 2; \(\ldots\); 9. Этим совместное распределение и задано: пар значений всего \(9 \cdot 9 = 81\), и все они равновероятны.
Проверка: пар ровно 81, и сумма их вероятностей равна \(81 \cdot \dfrac{1}{81} = 1\).
б) Величина \(Z = \max(X,\ Y)\) — наибольшее из двух выбранных чисел, поэтому она принимает те же значения 1; 2; \(\ldots\); 9.
Наибольшее из двух чисел не превосходит \(k\) ровно тогда, когда оба числа не превосходят \(k\). Для величины \(X\) подходят \(k\) значений из девяти, столько же для \(Y\), поэтому среди 81 равновероятной пары таких пар \(k^2\), и \[\mathrm{P}(Z \leqslant k) = \dfrac{k^2}{81}.\]
Событие «\(Z \leqslant k\)» состоит из события «\(Z \leqslant k - 1\)» и события «\(Z = k\)», причём эти два события несовместны. Значит, при \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\) \[\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{k^2}{81} - \dfrac{(k-1)^2}{81} = \dfrac{k^2 - (k^2 - 2k + 1)}{81} = \dfrac{2k - 1}{81}\] (при \(k = 1\) вычитаемое равно нулю, и формула остаётся верной). Выписывая значения, получаем распределение \[Z \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \dfrac{1}{81} & \dfrac{3}{81} & \dfrac{5}{81} & \dfrac{7}{81} & \dfrac{9}{81} & \dfrac{11}{81} & \dfrac{13}{81} & \dfrac{15}{81} & \dfrac{17}{81} \end{pmatrix}.\]
Проверка: в числителях стоят девять первых нечётных чисел, их сумма равна \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81\), поэтому сумма всех вероятностей равна \(\dfrac{81}{81} = 1\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = a,\ Y = b) = \dfrac{1}{81}\) при любых \(a\) и \(b\) из ряда 1; 2; \(\ldots\); 9 — все 81 пара значений равновероятна; б) \(\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{2k - 1}{81}\) при \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 9\).
