Страница 170 номер 370, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
По кругу в случайном порядке выложили 50 зелёных и 50 красных карточек. Найдите математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная карточка.
Дано:
зелёных карточек — 50
красных карточек — 50
карточки выложены по кругу в случайном порядке
Найти: математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная.
Решение:
Всего карточек \(50 + 50 = 100\), лежат они по кругу, поэтому у каждой ровно две соседние.
Для \(k\)-й зелёной карточки введём индикатор \(I_k\) события \(A_k\) — «рядом с этой карточкой лежит хотя бы одна красная», где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 50\). Число зелёных карточек с красной соседкой равно сумме индикаторов: \[X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{50}.\]
Ожидание индикатора равно вероятности его события, а ожидание суммы равно сумме ожиданий; независимость для этого не нужна, и её здесь нет: у двух зелёных карточек, лежащих рядом, соседи общие.
Вероятность события \(A_k\) найдём через противоположное событие \(\overline{A_k}\) — «обе соседние карточки зелёные». Порядок случайный, поэтому соседями \(k\)-й зелёной карточки наудачу становятся карточки из оставшихся \(100 - 1 = 99\), среди которых \(50 - 1 = 49\) зелёных и 50 красных: первый сосед зелёный с вероятностью \(\frac{49}{99}\), а при зелёном первом соседе для второго остаются 98 карточек с 48 зелёными — условная вероятность \(\frac{48}{98}\). Перемножаем: \[\mathrm{P}(\overline{A_k}) = \frac{49}{99} \cdot \frac{48}{98} = \frac{49 \cdot 48}{99 \cdot 98} = \frac{48}{198} = \frac{8}{33}.\]
\(\mathrm{P}(A_k) = 1 - \frac{8}{33} = \frac{25}{33}\), поэтому \(\mathrm{E}I_k = \frac{25}{33}\).
Все 50 слагаемых имеют одно и то же ожидание, поэтому \[\mathrm{E}X = 50 \cdot \frac{25}{33} = \frac{1250}{33} \approx 37{,}88.\]
Ответ: математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная, равно \(\frac{1250}{33} \approx 37{,}88\).
По кругу в случайном порядке выложили 50 зелёных и 50 красных карточек. Найдите математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная карточка.
Дано:
зелёных карточек — 50
красных карточек — 50
карточки выложены по кругу в случайном порядке
Найти: математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная.
Решение:
Всего карточек \(50 + 50 = 100\), и лежат они по кругу, поэтому у каждой карточки ровно две соседние — слева и справа.
Занумеруем зелёные карточки и для \(k\)-й из них введём индикатор \(I_k\) события \(A_k\) — «рядом с этой карточкой лежит хотя бы одна красная», где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 50\). Число зелёных карточек, у которых есть красная соседка, равно сумме этих индикаторов: \[X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{50}.\]
Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события, а ожидание суммы равно сумме ожиданий слагаемых. Независимость для этого правила не нужна, и её здесь нет: у двух зелёных карточек, лежащих рядом, соседи общие.
Вероятность события \(A_k\) найдём через противоположное событие \(\overline{A_k}\) — «обе соседние карточки зелёные». Порядок случайный, поэтому соседями \(k\)-й зелёной карточки наудачу становятся карточки из оставшихся \(100 - 1 = 99\), среди которых \(50 - 1 = 49\) зелёных и 50 красных. Первый сосед оказывается зелёным с вероятностью \(\frac{49}{99}\). Если он зелёный, то для второго соседа остаются 98 карточек, среди них 48 зелёных, и вероятность того, что и второй сосед зелёный, равна \(\frac{48}{98}\) — это условная вероятность, посчитанная при известном цвете первого соседа. Перемножая, получаем \[\mathrm{P}(\overline{A_k}) = \frac{49}{99} \cdot \frac{48}{98} = \frac{49 \cdot 48}{99 \cdot 98} = \frac{48}{198} = \frac{8}{33}.\]
Отсюда \(\mathrm{P}(A_k) = 1 - \frac{8}{33} = \frac{25}{33}\), и математическое ожидание каждого индикатора равно \(\mathrm{E}I_k = \frac{25}{33}\).
Все 50 слагаемых имеют одно и то же ожидание, поэтому \[\mathrm{E}X = 50 \cdot \frac{25}{33} = \frac{1250}{33} \approx 37{,}88.\]
Ответ: математическое ожидание числа зелёных карточек, рядом с которыми лежит хотя бы одна красная, равно \(\frac{1250}{33} \approx 37{,}88\).
