Страница 164 номер 361, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Величина \(I_k\) равна 1, если участник с номером \(k\) получил собственную записку, и равна нулю в противном случае. Неравенства \(1 \leqslant k < m \leqslant n\) требуют, чтобы участников было хотя бы двое, то есть \(n \geqslant 2\).
Листы одинаковы, их перемешивают и раздают случайно, поэтому для участника с номером \(k\) все \(n\) листов равновозможны, а собственная записка среди них ровно одна: \(\mathrm{P}(I_k = 1) = \dfrac{1}{n}\). По той же причине \(\mathrm{P}(I_m = 1) = \dfrac{1}{n}\).
Если участник с номером \(k\) уже получил собственную записку, то для участника с номером \(m\) равновозможны все \(n - 1\) оставшихся листов, среди которых его собственный ровно один: \(\mathrm{P}(I_m = 1 \mid I_k = 1) = \dfrac{1}{n - 1}\).
\(\mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 1) = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{n - 1} = \dfrac{1}{n(n - 1)}\) — оба участника получили свои записки.
\(\mathrm{P}(I_k = 1) \cdot \mathrm{P}(I_m = 1) = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n^2}\) — произведение маргинальных вероятностей.
При \(n \geqslant 2\) выполняется \(n(n - 1) < n^2\), поэтому \(\dfrac{1}{n(n - 1)} > \dfrac{1}{n^2}\): числа разные, признак нарушен уже для пары значений \(I_k = 1\), \(I_m = 1\), и величины независимыми не являются.
Ответ: нет, при \(1 \leqslant k < m \leqslant n\) случайные величины \(I_k\) и \(I_m\) независимыми не являются.
Неравенства \(1 \leqslant k < m \leqslant n\) требуют, чтобы участников было хотя бы двое, то есть \(n \geqslant 2\).
Величина \(I_k\) бинарная: она равна 1, если участник с номером \(k\) получил собственную записку, и 0 в противном случае.
Листы одинаковы, их перемешивают и раздают случайно, поэтому для участника с номером \(k\) все \(n\) листов равновозможны, а собственная записка среди них ровно одна: \[\mathrm{P}(I_k = 1) = \dfrac{1}{n}.\]
По той же причине \(\mathrm{P}(I_m = 1) = \dfrac{1}{n}\).
Найдём вероятность того, что свои записки получили оба участника. Если участник с номером \(k\) уже получил собственную записку, то оставшиеся \(n - 1\) листов случайно распределяются между остальными \(n - 1\) участниками, и для участника с номером \(m\) равновозможны все \(n - 1\) оставшихся листов, среди которых его собственный ровно один. Значит, \(\mathrm{P}(I_m = 1 \mid I_k = 1) = \dfrac{1}{n - 1}\) и \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(I_k = 1,\ I_m = 1) = \mathrm{P}(I_k = 1) \cdot \mathrm{P}(I_m = 1 \mid I_k = 1) = {} \\ &= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{n - 1} = \dfrac{1}{n(n - 1)}. \end{aligned}\]
Произведение же маргинальных вероятностей равно \(\mathrm{P}(I_k = 1) \cdot \mathrm{P}(I_m = 1) = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n^2}\).
При \(n \geqslant 2\) выполняется \(n(n - 1) < n^2\), поэтому \(\dfrac{1}{n(n - 1)} > \dfrac{1}{n^2}\). Числа разные, то есть уже для пары значений \(I_k = 1\), \(I_m = 1\) равенство \(\mathrm{P}(I_k = i,\ I_m = j) = \mathrm{P}(I_k = i) \cdot \mathrm{P}(I_m = j)\) не выполняется, и величины независимыми не являются.
Смысл полученного неравенства понятен и без вычислений: известие о том, что один участник получил свою записку, повышает шансы остальных получить свои, ведь чужая записка выбыла из стопки.
Ответ: нет, при \(1 \leqslant k < m \leqslant n\) случайные величины \(I_k\) и \(I_m\) независимыми не являются.
