Страница 169 номер 367, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Большой куб сложен из 27 игральных кубиков — по три кубика вдоль каждого ребра. Положение каждого кубика случайное; сам кубик считаем правильным, так что любая из шести его граней с одинаковой вероятностью \(\frac{1}{6}\) занимает любое из шести направлений.

Сколько граней маленького кубика лежит на поверхности большого, зависит от его места. В восьми вершинах стоят угловые кубики — у каждого на поверхности три грани. В серединах двенадцати рёбер стоят кубики с двумя гранями на поверхности. В центрах шести граней стоят кубики с одной гранью на поверхности. Ровно один кубик находится внутри и на поверхность не выходит вовсе.

Проверим счёт: кубиков всего \(8 + 12 + 6 + 1 = 27\), а граней на поверхности \(8 \cdot 3 + 12 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 54\) — ровно столько, сколько квадратов на шести гранях большого куба (\(6 \cdot 9 = 54\)).

а) Занумеруем 26 кубиков, вышедших на поверхность, и для \(k\)-го из них введём индикатор \(I_k\) события «шестёрка этого кубика лежит на поверхности». Шестёрка у каждого кубика одна, поэтому число шестёрок на поверхности равно сумме индикаторов: \(X = I_1 + I_2 + \ldots + I_{26}\). Математическое ожидание индикатора равно вероятности его события, а ожидание суммы равно сумме ожиданий.

У углового кубика на поверхности лежат три грани, сходящиеся в одной вершине, то есть попарно соседние. Шесть граней кубика разбиты на три пары противоположных, и соседние грани в одну пару не попадают, поэтому на поверхности лежит ровно по одной грани из каждой пары. Шестёрка стоит на одной грани; в её паре на поверхность вышла ровно одна грань из двух, и оба положения равновозможны. Значит, вероятность равна \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

У кубика в середине ребра на поверхности две соседние грани, вероятность равна \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\); у кубика в центре грани — одна грань, вероятность равна \(\frac{1}{6}\).

Складываем ожидания индикаторов по всем трём группам: \[\mathrm{E}X = 8 \cdot \frac{1}{2} + 12 \cdot \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 4 + 4 + 1 = 9.\]

б) Пусть \(S\) — «сумма чисел на гранях, лежащих на поверхности». Таких граней 54, и на каждой из них при случайном положении кубика с вероятностью \(\frac{1}{6}\) оказывается любое из чисел от 1 до 6. Поэтому ожидание числа на одной такой грани равно \[\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5.\]

Величина \(S\) — сумма 54 таких величин, а ожидание суммы равно сумме ожиданий. Независимость здесь не нужна, и её нет: числа на трёх гранях одного кубика связаны между собой. Значит, \(\mathrm{E}S = 54 \cdot 3{,}5 = 189\).

Ответ: а) математическое ожидание числа шестёрок на поверхности куба равно 9; б) математическое ожидание суммы чисел на поверхности куба равно 189.