Страница 150 номер 327, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(T\) имеет распределение \(Bi(n;\ 0{,}2)\). При каких \(n\) выполняется неравенство \(\mathrm{P}(T = 0) < 0{,}15\)?
\(T \sim Bi(n;\ 0{,}2)\): \(T\) — число успехов в серии из \(n\) одинаковых независимых испытаний, \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Событие \(T = 0\) значит, что все \(n\) испытаний неудачны, поэтому \(\mathrm{P}(T = 0) = q^n = 0{,}8^n\), и неравенство принимает вид \(0{,}8^n < 0{,}15\).
\(0{,}8^2 = 0{,}64\); \(0{,}8^4 = 0{,}64^2 = 0{,}4096\); \(0{,}8^8 = 0{,}4096^2 = 0{,}16777216\); \(0{,}8^9 = 0{,}16777216 \cdot 0{,}8 = 0{,}134217728\).
При \(n = 8\) неравенство неверно: \(0{,}16777216 > 0{,}15\); при \(n = 9\) оно верно: \(0{,}134217728 < 0{,}15\).
Основание степени меньше 1, поэтому с ростом показателя степень только убывает: при всех \(n \geqslant 9\) выполняется \(0{,}8^n \leqslant 0{,}8^9 < 0{,}15\), а при всех \(n \leqslant 8\) выполняется \(0{,}8^n \geqslant 0{,}8^8 > 0{,}15\), и неравенство неверно.
Ответ: при всех натуральных \(n \geqslant 9\).
Случайная величина \(T\) имеет распределение \(Bi(n;\ 0{,}2)\). При каких \(n\) выполняется неравенство \(\mathrm{P}(T = 0) < 0{,}15\)?
Запись \(T \sim Bi(n;\ 0{,}2)\) значит, что \(T\) — число успехов в серии из \(n\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p = 0{,}2\), а вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Событие \(T = 0\) значит, что успехов не было, то есть все \(n\) испытаний неудачны. Испытания независимы, поэтому \(\mathrm{P}(T = 0) = q^n = 0{,}8^n\), и неравенство принимает вид \(0{,}8^n < 0{,}15\).
Степени находим последовательным возведением в квадрат: \(0{,}8^2 = 0{,}64\), \(0{,}8^4 = 0{,}64^2 = 0{,}4096\), \(0{,}8^8 = 0{,}4096^2 = 0{,}16777216\).
При \(n = 8\) неравенство неверно: \(0{,}16777216 > 0{,}15\). При \(n = 9\) получаем \(0{,}8^9 = 0{,}16777216 \cdot 0{,}8 = 0{,}134217728\), и теперь \(0{,}134217728 < 0{,}15\) — неравенство верно.
Основание степени меньше 1, поэтому с ростом показателя степень только убывает. Значит, при всех \(n \geqslant 9\) выполняется \(0{,}8^n \leqslant 0{,}8^9 < 0{,}15\), а при всех \(n \leqslant 8\) выполняется \(0{,}8^n \geqslant 0{,}8^8 > 0{,}15\), и неравенство неверно.
Ответ: при всех натуральных \(n \geqslant 9\).
