Страница 156 номер 336, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Вертикальная ось диаграмм не подписана числами, зато у каждой диаграммы есть горизонтальная сетка с постоянным шагом, и высоту столбика можно измерить в делениях этой сетки. Вероятность каждого значения пропорциональна высоте его столбика, а сумма вероятностей всех значений равна 1. Значит, вероятность значения — это высота его столбика, делённая на сумму высот всех столбиков.

а) На диаграмме 6 значения 2, 4, 6, 8, 10, а высоты столбиков над ними равны 1, 3, 5, 3, 1 делению. Всего делений \(1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13\), поэтому одному делению отвечает вероятность \(\frac{1}{13}\), и распределение величины \(X\) такое: \[X \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \frac{1}{13} & \frac{3}{13} & \frac{5}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{pmatrix}.\]

Математическое ожидание равно сумме произведений значений на их вероятности: \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = 2 \cdot \frac{1}{13} + 4 \cdot \frac{3}{13} + 6 \cdot \frac{5}{13} + 8 \cdot \frac{3}{13} + 10 \cdot \frac{1}{13} = {} \\ &= \frac{2 + 12 + 30 + 24 + 10}{13} = \frac{78}{13} = 6. \end{aligned}\]

Проверка: значения 4 и 8 отстоят от числа 6 на 2 и имеют одинаковую вероятность \(\frac{3}{13}\), значения 2 и 10 отстоят от него на 4 и имеют одинаковую вероятность \(\frac{1}{13}\). Распределение симметрично относительно числа 6, а у симметричного распределения математическое ожидание равно центру симметрии.

б) На диаграмме 7 значения \(-6\), \(-2\), 2, 6, 10, 14, а высоты столбиков равны 5, 3, 1, 1, 3, 5 делениям. Всего делений \(5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 = 18\), одному делению отвечает вероятность \(\frac{1}{18}\): \[X \sim \begin{pmatrix} -6 & -2 & 2 & 6 & 10 & 14 \\ \frac{5}{18} & \frac{3}{18} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} & \frac{3}{18} & \frac{5}{18} \end{pmatrix}.\]

Тогда \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = -6 \cdot \frac{5}{18} - 2 \cdot \frac{3}{18} + 2 \cdot \frac{1}{18} + 6 \cdot \frac{1}{18} + 10 \cdot \frac{3}{18} + 14 \cdot \frac{5}{18} = {} \\ &= \frac{-30 - 6 + 2 + 6 + 30 + 70}{18} = \frac{72}{18} = 4. \end{aligned}\]

Проверка: значения 2 и 6 отстоят от числа 4 на 2 и имеют вероятность \(\frac{1}{18}\) каждое, значения \(-2\) и 10 отстоят на 6 и имеют вероятность \(\frac{3}{18}\), значения \(-6\) и 14 отстоят на 10 и имеют вероятность \(\frac{5}{18}\). Распределение симметрично относительно числа 4.

в) На диаграмме 8 значения \(-6\), \(-3\), 0, 3, 6, 9, 12, а высоты столбиков равны 1, 3, 2, 4, 2, 3, 1 делению. Всего делений \(1 + 3 + 2 + 4 + 2 + 3 + 1 = 16\), одному делению отвечает вероятность \(\frac{1}{16} = 0{,}0625\): \[X \sim \begin{pmatrix} -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 \\ \frac{1}{16} & \frac{3}{16} & \frac{2}{16} & \frac{4}{16} & \frac{2}{16} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \end{pmatrix}.\]

Тогда \[\begin{aligned} &\mathrm{E}X = -6 \cdot \frac{1}{16} - 3 \cdot \frac{3}{16} + 0 \cdot \frac{2}{16} + 3 \cdot \frac{4}{16} + {} \\ &+ 6 \cdot \frac{2}{16} + 9 \cdot \frac{3}{16} + 12 \cdot \frac{1}{16} = {} \\ &= \frac{-6 - 9 + 0 + 12 + 12 + 27 + 12}{16} = \frac{48}{16} = 3. \end{aligned}\]

Проверка: значения 0 и 6 отстоят от числа 3 на 3 и имеют вероятность \(\frac{2}{16}\) каждое, значения \(-3\) и 9 отстоят на 6 и имеют вероятность \(\frac{3}{16}\), значения \(-6\) и 12 отстоят на 9 и имеют вероятность \(\frac{1}{16}\); само число 3 — тоже значение, его вероятность \(\frac{4}{16}\). Распределение симметрично относительно числа 3.

Ответ: а) \(\mathrm{E}X = 6\); б) \(\mathrm{E}X = 4\); в) \(\mathrm{E}X = 3\).