Вопросы после параграфа §31 на странице 155, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Нет, не следует. Распределение называют симметричным относительно некоторого числа тогда, когда симметричны и значения величины, и их вероятности. В вопросе сказано только про значения, а про вероятности — ничего, поэтому вывод о математическом ожидании сделать нельзя.

Контрпример — величина \(X\) с распределением \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}.\]

Множество её значений \(\{-1;\ 1\}\) симметрично относительно нуля, но вероятности этих значений разные. По определению математического ожидания \(\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}7 + 1 \cdot 0{,}3 = -0{,}7 + 0{,}3 = -0{,}4\), и это не нуль.

Ответ: нет, не следует: у величины со значениями \(-1\) и 1 и вероятностями \(0{,}7\) и \(0{,}3\) множество значений симметрично относительно нуля, а \(\mathrm{E}X = -0{,}4\).

Распределение случайной величины симметрично относительно числа \(a\), если выполнены сразу два условия: значения величины расположены на числовой оси симметрично относительно точки \(a\) — вместе с каждым значением \(a - t\) величина принимает и значение \(a + t\), — и вероятности таких парных значений равны. Наглядно это значит, что диаграмма распределения при отражении относительно вертикальной прямой, проходящей через точку \(a\), переходит сама в себя.

Пример — величина \(X\) с распределением \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0{,}15 & 0{,}35 & 0{,}35 & 0{,}15 \end{pmatrix}.\]

Значения разбиваются на пары, равноудалённые от числа 4: \(1 = 4 - 3\) и \(7 = 4 + 3\) имеют одну и ту же вероятность \(0{,}15\), а \(3 = 4 - 1\) и \(5 = 4 + 1\) — одну и ту же вероятность \(0{,}35\). Значит, распределение симметрично относительно числа 4, и потому \(\mathrm{E}X = 4\).

Прямой счёт даёт тот же результат: \(\mathrm{E}X = 1 \cdot 0{,}15 + 3 \cdot 0{,}35 + 5 \cdot 0{,}35 + 7 \cdot 0{,}15 = 0{,}15 + 1{,}05 + 1{,}75 + 1{,}05 = 4\).

Ответ: распределение симметрично относительно числа \(a\), если значения величины расположены симметрично относительно точки \(a\) и равноудалённые от \(a\) значения имеют равные вероятности; пример — величина со значениями 1; 3; 5; 7 и вероятностями \(0{,}15\); \(0{,}35\); \(0{,}35\); \(0{,}15\), симметричная относительно числа 4.

Нет, не следует. Математическое ожидание — это сумма произведений значений на их вероятности; такая сумма может обратиться в нуль и у величины, которая значения 0 не принимает вовсе.

Контрпример — величина \(X\) с распределением \[X \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]

Её математическое ожидание равно \(\mathrm{E}X = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). При этом у величины всего два значения, \(-1\) и 1, а значение 0 невозможно, поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = 0\).

Ответ: нет, не следует: у величины со значениями \(-1\) и 1 и вероятностями \(0{,}5\) и \(0{,}5\) математическое ожидание равно нулю, а \(\mathrm{P}(X = 0) = 0\).

Да, следует. Индикатор \(I_A\) события \(A\) — бинарная величина: она равна 1, если событие \(A\) произошло, и равна 0, если не произошло. Значит, её распределение такое: \[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \mathrm{P}(A) & \mathrm{P}(A) \end{pmatrix}.\]

По определению математического ожидания \(\mathrm{E}I_A = 0 \cdot (1 - \mathrm{P}(A)) + 1 \cdot \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A)\), то есть математическое ожидание индикатора равно вероятности самого события. Для события \(B\) точно так же \(\mathrm{E}I_B = \mathrm{P}(B)\).

Значит, неравенство \(\mathrm{E}I_A > \mathrm{E}I_B\) — это то же самое, что неравенство \(\mathrm{P}(A) > \mathrm{P}(B)\), а оно и означает, что событие \(A\) вероятнее события \(B\).

Ответ: да, следует: математическое ожидание индикатора равно вероятности самого события, поэтому из \(\mathrm{E}I_A > \mathrm{E}I_B\) вытекает \(\mathrm{P}(A) > \mathrm{P}(B)\).